微积分学示例

$y = 6 - 6 x^{2}$ , $y = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - 6 x^{2} + 6$ 时， $V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${(- 6 x^{2} + 6)}^{2}$ 重写为 $(- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$ 。

$V = (- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 6 x^{2} + 6) (- 6 x^{2} + 6)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2} + 6) + 6 (- 6 x^{2} + 6)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2} + 6)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = - 6 x^{2} (- 6 x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{2} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = - 6 \cdot (- 6 (x^{2} x^{2})) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{2 + 2}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = - 6 \cdot (- 6 x^{4}) - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$V = 36 x^{4} - 6 x^{2} \cdot 6 + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.4

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} + 6 (- 6 x^{2}) + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 6 \cdot 6$

解题步骤 2.3.1.6

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$V = 36 x^{4} - 36 x^{2} - 36 x^{2} + 36$

解题步骤 2.3.2

从 $- 36 x^{2}$ 中减去 $36 x^{2}$ 。

$V = 36 x^{4} - 72 x^{2} + 36$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 1}^{1} 36 x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 4

由于 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $36$ 移到积分外。

$V = π (36 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 72 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 7

由于 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 72$ 移到积分外。

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 36 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (36 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 11

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 ((\frac{1^{5}}{5}) - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 11.3

计算 $36 x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

一的任意次幂都为一。

$V = π (36 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (36 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.3

将负号移到分数的前面。

$V = π (36 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (36 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5})) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.5

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (36 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.6

在公分母上合并分子。

$V = π (36 (\frac{1 + 1}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = π (36 (\frac{2}{5}) - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.8

组合 $36$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$V = π (\frac{36 \cdot 2}{5} - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.9

将 $36$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.10

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.12

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.14

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.15

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 \frac{1 + 1}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = π (\frac{72}{5} - 72 (\frac{2}{3}) + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.17

组合 $- 72$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 72 \cdot 2}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.18

将 $- 72$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 144}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.19

约去 $- 144$ 和 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.19.1

从 $- 144$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.19.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3 (1)} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.19.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{3 \cdot - 48}{3 \cdot 1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.19.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 48}{1} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.19.2.4

用 $- 48$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{72}{5} - 48 + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.20

要将 $- 48$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{72}{5} - 48 \cdot \frac{5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.21

组合 $- 48$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{72}{5} + \frac{- 48 \cdot 5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.22

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{72 - 48 \cdot 5}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.23

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.23.1

将 $- 48$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{72 - 240}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.23.2

从 $72$ 中减去 $240$ 。

$V = π (\frac{- 168}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.24

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 \cdot 1 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.25

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 - 36 \cdot - 1)$

解题步骤 11.4.26

将 $- 36$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (- \frac{168}{5} + 36 + 36)$

解题步骤 11.4.27

将 $36$ 和 $36$ 相加。

$V = π (- \frac{168}{5} + 72)$

解题步骤 11.4.28

要将 $72$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{168}{5} + 72 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 11.4.29

组合 $72$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{168}{5} + \frac{72 \cdot 5}{5})$

解题步骤 11.4.30

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 168 + 72 \cdot 5}{5})$

解题步骤 11.4.31

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.31.1

将 $72$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 168 + 360}{5})$

解题步骤 11.4.31.2

将 $- 168$ 和 $360$ 相加。

$V = π (\frac{192}{5})$

解题步骤 11.4.32

组合 $π$ 和 $\frac{192}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 192}{5}$

解题步骤 11.4.33

将 $192$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{192 π}{5}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{192 π}{5}$

小数形式：

$V = 120.63715789 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例