微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})}$

解题步骤 1.2

通过将 $5 x + 1$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}^{5 x + 1})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{(5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} (5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}$

解题步骤 3

将 $(5 x + 1) \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{\frac{5 x}{x} + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.3.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.5

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.5.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.5.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 - 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.7.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{5 + 0}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7.1.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5 + 4 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.7.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7.2.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (\frac{5}{5})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7.3

用 $5$ 除以 $5$ 。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.2.7.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 x + 1}}}$

解题步骤 4.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{5 x + 1}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})}{\frac{1}{5 x + 1}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 3}{5 x + 4})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x - 3}{5 x + 4}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{5 x - 3}{5 x + 4}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x + 4}{5 x - 3} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{5 x + 4}{5 x - 3}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 3}{5 x + 4}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 x - 3$ 且 $g (x) = 5 x + 4$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.6

根据加法法则， $5 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.9

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.10

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.11

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.12

将 $5$ 移到 $5 x + 4$ 的左侧。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.13

根据加法法则， $5 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.14

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.16

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.17

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.18

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.19

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x + 4}{5 x - 3} \cdot \frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.20

将 $\frac{5 x + 4}{5 x - 3}$ 乘以 $\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 4)}^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x - 3) {(5 x + 4)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.21

约去公因数。

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解题步骤 4.3.21.1

从 $(5 x - 3) {(5 x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $5 x + 4$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x + 4) (5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.21.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(5 x + 4) (5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3))}{(5 x + 4) (5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.21.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 3)}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22

化简。

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解题步骤 4.3.22.1

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 5 x + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 3)}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.2

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 5 x + 5 \cdot 4 - 5 \cdot 5 x - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.22.3.1

合并 $5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.22.3.1.1

从 $5 (5 x)$ 中减去 $5 (5 x)$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.3.1.2

将 $5 \cdot 4$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.22.3.2.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20 - 5 \cdot - 3}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.3.2.2

将 $- 5$ 乘以 $- 3$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{20 + 15}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.3.3

将 $20$ 和 $15$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x - 3) (5 x + 4)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.22.4

重新排序项。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 1}]}}$

解题步骤 4.3.23

将 $\frac{1}{5 x + 1}$ 重写为 ${(5 x + 1)}^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{- 1}]}}$

解题步骤 4.3.24

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 5 x + 1$ 。

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解题步骤 4.3.24.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x + 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

解题步骤 4.3.24.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

解题步骤 4.3.24.3

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 1]}}$

解题步骤 4.3.25

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 4.3.26

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 4.3.27

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 4.3.28

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [1])}}$

解题步骤 4.3.29

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} (5 + 0)}}$

解题步骤 4.3.30

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- {(5 x + 1)}^{- 2} \cdot 5}}$

解题步骤 4.3.31

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- 5 {(5 x + 1)}^{- 2}}}$

解题步骤 4.3.32

化简。

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解题步骤 4.3.32.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- 5 \frac{1}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 4.3.32.2

合并项。

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解题步骤 4.3.32.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{{(5 x + 1)}^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{\frac{- 5}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 4.3.32.2.2

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}{- \frac{5}{{(5 x + 1)}^{2}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)} \cdot - 1 \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{35}{(5 x + 4) (5 x - 3)}$ 乘以 $\frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{35 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5}}$

解题步骤 4.6

约去 $35$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $35 {(5 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $(5 x + 4) (5 x - 3) \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot (5 x + 4) (5 x - 3)}}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{5 \cdot 7 {(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot (5 x + 4) (5 x - 3)}}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{7 {(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

解题步骤 5.2

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{(5 x + 4) (5 x - 3)}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 x + 4) (5 x - 3)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3)}}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot - 3 + 4 (5 x - 3)}}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} + 5 x \cdot - 3 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 20 x + 4 \cdot - 3}}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} - 15 x + 20 x - 12}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 15 x$ 和 $20 x$ 相加。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(5 x + 1)}^{2}}{25 x^{2} + 5 x - 12}}$

解题步骤 7

分子分母同时除以分母中 $x$ 的最高次幂。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

$e^{- 7 lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{- 7 \frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.3

使用极限幂法则把 ${(\frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$e^{- 7 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- 7 \frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

约去公因数。

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.6.2

重写表达式。

$e^{- 7 \frac{{(5 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 8.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + \frac{5}{x} - \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{lim_{x \to \infty} 25 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 10.2

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 10.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 11

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}}$

解题步骤 12

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 13

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$e^{- 7 \frac{{(5 \cdot 1 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简分子。

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解题步骤 14.1.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 7 \frac{{(5 + 0)}^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

解题步骤 14.1.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$e^{- 7 \frac{5^{2}}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

解题步骤 14.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0 - 12 \cdot 0}}$

解题步骤 14.2.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0 + 0}}$

解题步骤 14.2.3

将 $25 + 0$ 和 $0$ 相加。

$e^{- 7 \frac{25}{25 + 0}}$

解题步骤 14.2.4

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$e^{- 7 (\frac{25}{25})}$

解题步骤 14.3

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

约去公因数。

$e^{- 7 (\frac{25}{25})}$

解题步骤 14.3.2

重写表达式。

$e^{- 7 \cdot 1}$

解题步骤 14.4

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 7}$

解题步骤 15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{7}}$

微积分学 示例

微积分学示例