微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.2.1.2

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{7 - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\frac{7 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.2.3.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + 8 e^{x}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

解题步骤 1.3.1.2

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} 8 e^{x}}$

解题步骤 1.3.2

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $8$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

思考去掉常数倍数 $8$ 后的极限。

$\frac{- \infty}{7 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{- \infty}{7 + \infty}$

解题步骤 1.3.3

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 - e^{x}}{7 + 8 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $7 - e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.5

从 $0$ 中减去 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7 + 8 e^{x}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $7 + 8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

解题步骤 3.7

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 8 e^{x}}$

解题步骤 3.9

将 $0$ 和 $8 e^{x}$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

解题步骤 4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{8 e^{x}}$

解题步骤 4.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{8}$

解题步骤 5

计算 $\frac{- 1}{8}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{8}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

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