微积分学示例

$lim_{x \to \infty} 7 x \sin (\frac{8}{x})$

解题步骤 1

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{8}{x})$

解题步骤 2

将 $x \sin (\frac{8}{x})$ 重写为 $\frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$7 \frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$7 \frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 \frac{\sin (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.2.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$7 \frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$7 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$7 \frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$7 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$7 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{8}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{8}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{8}{x}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{8}{x}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\frac{8}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8 \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 8 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.7

化简。

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解题步骤 3.3.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 8 \frac{1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.7.2

合并项。

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解题步骤 3.3.7.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \frac{- 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.7.2.2

将负号移到分数的前面。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot - 1 \frac{8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.7.2.3

组合 $\cos (\frac{8}{x})$ 和 $\frac{8}{x^{2}}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{8}{x}) \cdot 8}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.7.2.4

将 $8$ 移到 $\cos (\frac{8}{x})$ 的左侧。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 3.3.8

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

解题步骤 3.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$7 lim_{x \to \infty} - \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 3.5

合并因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$7 lim_{x \to \infty} 1 \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 3.5.2

将 $\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 3.5.3

组合 $\frac{8 \cos (\frac{8}{x})}{x^{2}}$ 和 $x^{2}$ 。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$7 lim_{x \to \infty} \frac{8 \cos (\frac{8}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.6.2

用 $8 \cos (\frac{8}{x})$ 除以 $1$ 。

$7 lim_{x \to \infty} 8 \cos (\frac{8}{x})$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{8}{x})$

解题步骤 4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$7 \cdot 8 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{8}{x})$

解题步骤 4.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$7 \cdot 8 \cos (8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$7 \cdot 8 \cos (8 \cdot 0)$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简答案。

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解题步骤 6.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$7 \cdot 8 \cos (0)$

解题步骤 6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$7 \cdot 8 \cdot 1$

解题步骤 6.1.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$7 \cdot 8$

解题步骤 6.2

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$56$

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