微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1.3

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

解题步骤 3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

解题步骤 3.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x}$

解题步骤 6

简化。

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解题步骤 6.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x^{1}}$

解题步骤 6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{- \frac{1}{3}})}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{- \frac{1}{3}}}{1}$

解题步骤 6.2.5

用 $3 x^{- \frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to \infty} x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 7.2

化简极限自变量。

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解题步骤 7.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 7.2.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x}$ 。

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 趋于 $0$ 。

$3 \cdot 0$

解题步骤 9

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0$

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