微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 11 x^{2} - 2 x + 8}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 - x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 和 $- x$ 重新排序。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x + 2}$

解题步骤 1.3.2

首项系数为负的多项式在趋于无穷时的极限是负无穷。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 x^{2} - 2 x + 8}{2 - x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2} - 2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $11 x^{2} - 2 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{11 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $11$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.4.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.5

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.6

将 $22 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2 - x]}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.9.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{0 - 1}$

解题步骤 3.10

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{22 x - 2}{- 1}$

解题步骤 4

通过相乘进行化简。

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解题步骤 4.1

移动 $\frac{22 x - 2}{- 1}$ 中分母的负号。

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x - 2)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot (22 x) - 1 \cdot - 2$

解题步骤 4.3

乘。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $22$ 。

$lim_{x \to \infty} - 22 x - 1 \cdot - 2$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to \infty} - 22 x + 2$

解题步骤 5

首项系数为负的多项式在趋于无穷时的极限是负无穷。

$- \infty$

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