微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5} + 4 x^{3} - 8}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{5} - 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5} + 4 x^{3} - 8}{7 x^{5} - 3 x^{2} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} + 4 x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{5} + 4 x^{3} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.6

将 $5 x^{4} + 12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5} - 3 x^{2} - 1]}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $7 x^{5} - 3 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{\frac{d}{d x} [7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.8.3

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.9.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.9.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x + 0}$

解题步骤 3.11

将 $35 x^{4} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4} + 12 x^{2}}{35 x^{4} - 6 x}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{4}}{x^{4}} + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{4}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x^{2} \cdot 12}{x^{2} x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

约去 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{\frac{35 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $35$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6 x}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x^{3}}}$

解题步骤 5.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 + \frac{- 6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{12}{x^{2}}}{35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{12}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 5.6

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 12 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 7.2

计算 $35$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}$

解题步骤 7.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 12 \cdot 0}{35 - 6 \cdot 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5 + 0}{35 - 6 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{35 - 6 \cdot 0}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{35 + 0}$

解题步骤 9.2.2

将 $35$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{35}$

解题步骤 9.3

约去 $5$ 和 $35$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (1)}{35}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $35$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 7}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{7}$

微积分学 示例

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