微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (9 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\arcsin (9 x)$ 的极限值。

$\frac{\arcsin (9 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.3

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (9 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (9 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

从 $9 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(9 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.4

对 $9 (x)$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (9^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - (81 x^{2})}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.6

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.7

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.8

组合 $9$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.10

将 $\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}}{1}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.2

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$9 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.5

将极限移入根号内。

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$9 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 81 x^{2}}}$

解题步骤 5.8

因为项 $81$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 lim_{x \to 0} x^{2}}}$

解题步骤 5.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0^{2}}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分母。

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解题步骤 7.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 - 81 \cdot 0}}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 81$ 乘以 $0$ 。

$9 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 7.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$9 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 7.1.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$9 (\frac{1}{1})$

解题步骤 7.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$9 (\frac{1}{1})$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$9 \cdot 1$

解题步骤 7.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9$

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