微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $2^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

解题步骤 4

约去 $2^{x}$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

从 $2^{x} \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 5.1.2

因为函数 $2^{x - 1}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $\ln (2)$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

思考去掉常数倍数 $\ln (2)$ 后的极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 5.1.2.2

因为指数 $x - 1$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $2^{x - 1}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 5.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

因为 $\ln (2)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2^{x - 1} \ln (2)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.12

将 $2^{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

解题步骤 5.4

用 $2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

解题步骤 6

因为函数 $2^{x - 1}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $\ln^{2} (2)$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

思考去掉常数倍数 $\ln^{2} (2)$ 后的极限。

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

解题步骤 6.2

因为指数 $x - 1$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $2^{x - 1}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty$

微积分学 示例

微积分学示例