微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} + 9} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 重写成 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.9

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.13

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.14

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.16

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.2.17

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} - x$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分母。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ 。

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - 1$ 得到的结果为 $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} - 1$ ，因为是负数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递减。

在 $(- \infty, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减，表明这个函数恒为递减。

总是递减

解题步骤 8

微积分学 示例

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