微积分学示例

$f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = e^{- 3 x}$ 。

$(x - 4) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x$ 。

$(x - 4) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x - 4) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x - 4) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 4) e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(x - 4) e^{- 3 x} \cdot - 3 + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 3$ 移到 $(x - 4) e^{- 3 x}$ 的左侧。

$- 3 \cdot ((x - 4) e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 1.1.3.4

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.3.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.3.7

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.7.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (x - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

运用分配律。

$(- 3 x - 3 \cdot - 4) e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4.2

运用分配律。

$- 3 x e^{- 3 x} - 3 \cdot - 4 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 3 x e^{- 3 x} + 12 e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $12 e^{- 3 x}$ 和 $e^{- 3 x}$ 相加。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4.4

重新排序项。

$- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.4.5

将 $- 3 e^{- 3 x} x + 13 e^{- 3 x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ 。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 3 x e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} (- 3 x) + 13 e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $13 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 13$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 13 = 0$

解题步骤 2.4

将 $e^{- 3 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $e^{- 3 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- 3 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.5

将 $- 3 x + 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 3 x + 13$ 设为等于 $0$ 。

$- 3 x + 13 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- 3 x + 13 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $13$ 。

$- 3 x = - 13$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 3 x = - 13$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $- 3 x = - 13$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 13}{- 3}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 13}{- 3}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{13}{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $e^{- 3 x} (- 3 x + 13) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{13}{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{13}{3}$ 。

$\frac{13}{3}$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + 13 e^{- 3 x}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = (x - 4) e^{- 3 x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{13}{3}) \cup (\frac{13}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{13}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{10}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - 3 (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (- 1) (\frac{10}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去公因数。

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.1.3

重写表达式。

$f' (\frac{10}{3}) = - 1 \cdot 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 3 (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去公因数。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.3.3

重写表达式。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 1 \cdot 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot e^{- 10} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (\frac{10}{3}) = - 10 \cdot \frac{1}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.6

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 3 (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{10}{3})}$

解题步骤 5.2.1.8.2

约去公因数。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{10}{3}))}$

解题步骤 5.2.1.8.3

重写表达式。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 1 \cdot 10}$

解题步骤 5.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 e^{- 10}$

解题步骤 5.2.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + 13 (\frac{1}{e^{10}})$

解题步骤 5.2.1.11

组合 $13$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (\frac{10}{3}) = - \frac{10}{e^{10}} + \frac{13}{e^{10}}$

解题步骤 5.2.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{- 10 + 13}{e^{10}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 10$ 和 $13$ 相加。

$f' (\frac{10}{3}) = \frac{3}{e^{10}}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{3}{e^{10}}$ 。

$\frac{3}{e^{10}}$

解题步骤 5.3

在 $x = \frac{10}{3}$ 处，导数为 $\frac{3}{e^{10}}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{13}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{13}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(\frac{13}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{16}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - 3 (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = 3 (- 1) (\frac{16}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.1.2

约去公因数。

$f' (\frac{16}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.1.3

重写表达式。

$f' (\frac{16}{3}) = - 1 \cdot 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 3 (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去公因数。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.3.3

重写表达式。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 1 \cdot 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot e^{- 16} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (\frac{16}{3}) = - 16 \cdot \frac{1}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.6

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{e^{16}}$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 3 (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.8.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 (- 1) (\frac{16}{3})}$

解题步骤 6.2.1.8.2

约去公因数。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{3 \cdot (- 1 (\frac{16}{3}))}$

解题步骤 6.2.1.8.3

重写表达式。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 1 \cdot 16}$

解题步骤 6.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 e^{- 16}$

解题步骤 6.2.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + 13 (\frac{1}{e^{16}})$

解题步骤 6.2.1.11

组合 $13$ 和 $\frac{1}{e^{16}}$ 。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{16}{e^{16}} + \frac{13}{e^{16}}$

解题步骤 6.2.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 16 + 13}{e^{16}}$

解题步骤 6.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $- 16$ 和 $13$ 相加。

$f' (\frac{16}{3}) = \frac{- 3}{e^{16}}$

解题步骤 6.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{16}{3}) = - \frac{3}{e^{16}}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{3}{e^{16}}$ 。

$- \frac{3}{e^{16}}$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{16}{3}$ 处，导数为 $- \frac{3}{e^{16}}$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{13}{3}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{13}{3}, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{13}{3})$

递减于： $(\frac{13}{3}, \infty)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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