微积分学示例

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 重写为 ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ 。

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 。

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $1 + 9 e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 相加。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 。

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

解题步骤 1.1.3.6

将 $9$ 乘以 $- 20$ 。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 1.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 3 x$ 。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 1.1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 1.1.4.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $- 180$ 。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.5.4

将 $e^{- 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

重新排序 $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ 的因式。

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

解题步骤 1.1.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3

乘以 $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1

组合 $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 和 $540$ 。

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

解题步骤 1.1.6.3.2

组合 $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 和 $e^{- 3 x}$ 。

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 。

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$540 e^{- 3 x} = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.3

$540 e^{- 3 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

不存在使导数 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 3 \cdot 1}$ 移动到分母。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.5

对 $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ 运用乘积法则。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.6

将 ${(e^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

解题步骤 5.2.2.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ 和 $e^{3}$ 。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

解题步骤 5.2.3.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ 中分解出因数 $e^{3}$ 。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

解题步骤 5.2.3.2.2

从 $e^{6}$ 中分解出因数 $e^{3}$ 。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

解题步骤 5.2.3.2.3

约去公因数。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

解题步骤 5.2.3.2.4

重写表达式。

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

解题步骤 5.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

解题步骤 5.2.5

组合 $540$ 和 $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ 。

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ 。

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 代入 $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 得到的结果为 $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

解题步骤 8

微积分学 示例

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