微积分学示例

$h (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{4 x}{3}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{4 x}{3}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $\frac{4 x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.2.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $\sin (\frac{4 x}{3})$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $\sin (\frac{4 x}{3})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

解题步骤 2.3.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4 x}{3} = 0$

解题步骤 2.3.4

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 2.3.5

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.3.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.5.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.3.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

解题步骤 2.3.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

等式两边同时乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1

化简 $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ 。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

解题步骤 2.3.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1

化简 $\frac{3}{4} (π - 0)$ 。

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解题步骤 2.3.7.2.2.1.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = \frac{3}{4} π$

解题步骤 2.3.7.2.2.1.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.3.8

求 $\sin (\frac{4 x}{3})$ 的周期。

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解题步骤 2.3.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.3.8.2

使用周期公式中的 $\frac{4}{3}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

解题步骤 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ 约为 $1.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.3.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.8.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (π) \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.8.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

解题步骤 2.3.8.5.3

约去公因数。

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.8.5.4

重写表达式。

$π \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.8.6

组合 $π$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{2}$

解题步骤 2.3.8.7

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.3.9

$\sin (\frac{4 x}{3})$ 函数的周期为 $\frac{3 π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{3 π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4

合并答案。

$x = \frac{3 π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{3 π n}{4}$ 。

$\frac{3 π n}{4}$

解题步骤 4

求出让导数 $h' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $h (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{3 π n}{4} - 1$ 替换变量 $x$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.1.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.1.3

在公分母上合并分子。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{3 π n - 4}{4}$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去公因数。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.3.1.2

重写表达式。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $3 π n - 4$ 除以 $1$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

解题步骤 5.3

在 $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ 处，导数为 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 上递减。

因为 $h' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{3 π n}{4} + 1$ 替换变量 $x$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.1.2

在公分母上合并分子。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{3 π n + 4}{4}$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1

约去公因数。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.3.1.2

重写表达式。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $3 π n + 4$ 除以 $1$ 。

$h' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ 。

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ 处，导数为 $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 上递减。

因为 $h' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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