微积分学示例

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ 重写成 ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 20 - x - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $20 - x - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $20 - x - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $20 - x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.9

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

解题步骤 1.1.16

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

解题步骤 1.1.17

化简。

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解题步骤 1.1.17.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ 的因式。

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17.2

将 $- 1 - 2 x$ 乘以 $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17.5

从 $- 1 (1) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 + 2 x = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 2.3.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ 重写成 ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.4

化简。

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6

化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $20$ 。

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $80 - 4 x - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.3.3.1.1.1.1

移动 $80$ 。

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.1.2

将 $- 4 x$ 和 $- 4 x^{2}$ 重新排序。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.4

从 $80$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.5

从 $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 4.3.3.1.1.6

从 $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

解题步骤 4.3.3.1.2

因数。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $1$ 。

$- 4, 5$

解题步骤 4.3.3.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

解题步骤 4.3.3.1.2.2

去掉多余的括号。

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

解题步骤 4.3.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.3.3.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.3.3.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4.3.3.4

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.4.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.3.3.4.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 4.3.3.5

最终解为使 $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 5$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$20 - x - x^{2} < 0$

解题步骤 4.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

把不等式转换成方程。

$20 - x - x^{2} = 0$

解题步骤 4.5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $20 - x - x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.5.2.1.1.1

移动 $20$ 。

$- x - x^{2} + 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.1.2

将 $- x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} - x + 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.4

将 $20$ 重写为 $- 1 (- 20)$ 。

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.5

从 $- (x^{2}) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 4.5.2.1.6

从 $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

解题步骤 4.5.2.2

因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.5.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $1$ 。

$- 4, 5$

解题步骤 4.5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

解题步骤 4.5.2.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

解题步骤 4.5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.5.4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.5.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4.5.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.5.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 4.5.6

最终解为使 $- (x - 4) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 5$

解题步骤 4.5.7

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

解题步骤 4.5.8

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 4.5.8.1

检验区间 $x < - 5$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.5.8.1.1

选择区间 $x < - 5$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 8$

解题步骤 4.5.8.1.2

使用原不等式中的 $- 8$ 替换 $x$ 。

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

解题步骤 4.5.8.1.3

左边的 $- 36$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.5.8.2

检验区间 $- 5 < x < 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.5.8.2.1

选择区间 $- 5 < x < 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 4.5.8.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

解题步骤 4.5.8.2.3

左边的 $20$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 4.5.8.3

检验区间 $x > 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 4.5.8.3.1

选择区间 $x > 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 6$

解题步骤 4.5.8.3.2

使用原不等式中的 $6$ 替换 $x$ 。

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

解题步骤 4.5.8.3.3

左边的 $- 22$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 4.5.8.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 5$ 为真

$- 5 < x < 4$ 为假

$x > 4$ 为真

$x < - 5$ 为真

$- 5 < x < 4$ 为假

$x > 4$ 为真

解题步骤 4.5.9

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 5$ 或 $x > 4$

解题步骤 4.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $1$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $20$ 和 $6$ 相加。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.3

从 $26$ 中减去 $36$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 5, - \frac{1}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2.75$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2.75$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $1$ 中减去 $5.5$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2.75$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

对 $- 2.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $7.5625$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $20$ 和 $2.75$ 相加。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.3

从 $22.75$ 中减去 $7.5625$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.4

将 $15.1875$ 重写为 ${3.89711431}^{2}$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.6.1

约去公因数。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.6.2

重写表达式。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

解题步骤 7.2.2.7

计算指数。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 乘以 $3.89711431$ 。

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $- 4.5$ 除以 $7.79422863$ 。

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

解题步骤 7.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.57735026$ 。

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0.57735026$ 。

$0.57735026$

解题步骤 7.3

在 $x = - 2.75$ 处，导数为 $0.57735026$ 。由于其值为正，函数在 $(- 5, - \frac{1}{2})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 5, - \frac{1}{2})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(- 0.5, 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.75$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1.75$ 。

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $1$ 和 $3.5$ 相加。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1.75$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.1.2

对 $1.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3.0625$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $20$ 中减去 $1.75$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.3

从 $18.25$ 中减去 $3.0625$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.4

将 $15.1875$ 重写为 ${3.89711431}^{2}$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 8.2.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.6.1

约去公因数。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 8.2.2.6.2

重写表达式。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

解题步骤 8.2.2.7

计算指数。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

解题步骤 8.2.3

化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $2$ 乘以 $3.89711431$ 。

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

解题步骤 8.2.3.2

用 $4.5$ 除以 $7.79422863$ 。

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

解题步骤 8.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0.57735026$ 。

$f' (1.75) = - 0.57735026$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.57735026$ 。

$- 0.57735026$

解题步骤 8.3

在 $x = 1.75$ 处，导数为 $- 0.57735026$ 。由于其值为负，函数在 $(- 0.5, 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{1}{2}, 4)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $1$ 和 $10$ 相加。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $20$ 中减去 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2.3

从 $15$ 中减去 $25$ 。

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ 。由于其值为负，函数在 $(4, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(4, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 5, - \frac{1}{2})$

递减于： $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例