微积分学示例

$y = \ln^{3} (x)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \ln^{3} (y)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\ln^{3} (y) = x$ 。

$\ln^{3} (y) = x$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$\ln^{3} (y) = x$

解题步骤 2.2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

解题步骤 2.2.2.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 2.2.2.3

使用对数的定义将 $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

解题步骤 2.2.2.4

将方程重写为 $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ 。

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ 是否为 $f (x) = \ln^{3} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ 。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

解题步骤 4.2.3

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

解题步骤 4.2.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

解题步骤 4.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

解题步骤 4.3.3

使用对数规则把 $\sqrt[3]{x}$ 移到指数外部。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

解题步骤 4.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

解题步骤 4.3.5

将 $\sqrt[3]{x}$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

解题步骤 4.3.6.5

化简。

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ 为 $f (x) = \ln^{3} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

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