微积分学示例

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

解题步骤 1

将 $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

约去 $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $4 e^{x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

从 $4 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

解题步骤 2.1.1.3

从 $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

解题步骤 2.1.1.4

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

解题步骤 2.1.1.4.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

解题步骤 2.1.1.4.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

解题步骤 2.1.1.4.4

用 $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 2.5.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

求微分。

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解题步骤 5.1.1.1

约去 $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1.1.1

从 $4 e^{x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

解题步骤 5.1.1.1.2

从 $4 e^{- x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

解题步骤 5.1.1.1.3

从 $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

解题步骤 5.1.1.1.4

约去公因数。

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解题步骤 5.1.1.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

解题步骤 5.1.1.1.4.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

解题步骤 5.1.1.1.4.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

解题步骤 5.1.1.1.4.4

用 $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

解题步骤 5.1.1.2

根据加法法则， $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 5.1.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

解题步骤 5.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.1.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 5.1.5

求微分。

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解题步骤 5.1.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 5.1.5.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

解题步骤 6.2

通过在等式两边同时加上 $- 2 e^{- x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

解题步骤 6.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

解题步骤 6.4

展开左边。

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解题步骤 6.4.1

将 $\ln (2 e^{x})$ 重写为 $\ln (2) + \ln (e^{x})$ 。

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

解题步骤 6.4.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

解题步骤 6.4.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

解题步骤 6.4.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

解题步骤 6.5

展开右边。

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解题步骤 6.5.1

将 $\ln (2 e^{- x})$ 重写为 $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ 。

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.5.2

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

解题步骤 6.5.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

解题步骤 6.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

解题步骤 6.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

解题步骤 6.7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

解题步骤 6.8

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\ln (1) = - x - x$

解题步骤 6.9

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 = - x - x$

解题步骤 6.10

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$0 = - 2 x$

解题步骤 6.11

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 2 x = 0$

解题步骤 6.12

将 $- 2 x = 0$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.12.1

将 $- 2 x = 0$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 6.12.2

化简左边。

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解题步骤 6.12.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 6.12.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{- 2}$

解题步骤 6.12.3

化简右边。

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解题步骤 6.12.3.1

用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 10.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 + 2 e^{0}$

解题步骤 10.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 + 2 \cdot 1$

解题步骤 10.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2$

解题步骤 10.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

约去 $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1

从 $4 e^{0}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

解题步骤 12.2.1.2

从 $4 e^{- (0)}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

解题步骤 12.2.1.3

从 $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

解题步骤 12.2.1.4

约去公因数。

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解题步骤 12.2.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

解题步骤 12.2.1.4.2

约去公因数。

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.1.4.3

重写表达式。

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

解题步骤 12.2.1.4.4

用 $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 12.2.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 12.2.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

解题步骤 12.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

解题步骤 12.2.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

解题步骤 12.2.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 2 + 2$

解题步骤 12.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = 4$

解题步骤 12.2.4

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ 的局部极值。

$(0, 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

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