微积分学示例

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

解题步骤 1

将 $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ 书写为一个函数。

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{4}{x}$ 。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $y$ 。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $\frac{9}{y}$ 。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

解题步骤 2.5

从等式两边同时减去 $10$ 。

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

解题步骤 3

求函数的一阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.5.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.5.2

因为 $\frac{9}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{y}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.6.2

合并项。

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解题步骤 3.6.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.6.2.2

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

解题步骤 3.6.2.3

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

解题步骤 3.6.2.4

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

解题步骤 4

求函数的二阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.2.10

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 。

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解题步骤 4.3.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

约去公因数。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.1.2

重写表达式。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $f x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.3.1.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.3.1.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.3.2

乘以 $\frac{1}{x} (f y)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1

组合 $f$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.3.3.2.2

组合 $\frac{f}{x}$ 和 $y$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.5.2

合并项。

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解题步骤 4.5.2.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.5.2.3

将 $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

解题步骤 5

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

解题步骤 6

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 7

不存在局部极值

解题步骤 8

微积分学 示例

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