微积分学示例

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

解题步骤 1

将 $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ 书写为一个函数。

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

解题步骤 2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $x y$ 。

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $16 x$ 。

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

解题步骤 3

求函数的一阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $f (x, y) - x y - y + 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.4

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

解题步骤 3.5.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

解题步骤 4

求函数的二阶导数。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.1.2

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ 。

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解题步骤 4.2.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1

从 $f x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.3.1.2

约去公因数。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.3.1.3

重写表达式。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.3.2

乘以 $\frac{1}{x} (f y)$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

组合 $f$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.2.3.2.2

组合 $\frac{f}{x}$ 和 $y$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

解题步骤 4.3

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

解题步骤 5

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

解题步骤 6

求一阶导数。

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解题步骤 6.1

求一阶导数。

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解题步骤 6.1.1

根据加法法则， $f (x, y) - x y - y + 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.4

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

解题步骤 6.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

解题步骤 6.1.5.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

解题步骤 6.1.6

化简。

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解题步骤 6.1.6.1

将 $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

解题步骤 6.1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

解题步骤 6.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ 。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

解题步骤 7

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ 。

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解题步骤 7.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.1.2

重写表达式。

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.3

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1

从 $f x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.3.1.2

约去公因数。

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.3.1.3

重写表达式。

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.3.2

乘以 $\frac{1}{x} (f y)$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1

组合 $f$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

解题步骤 7.2.3.2.2

组合 $\frac{f}{x}$ 和 $y$ 。

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去 $16$ 。

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

解题步骤 8

求使导数无意义的值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{d}{d x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$d x = 0$

解题步骤 8.2

将 $d x = 0$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $d x = 0$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $d$ 除以 $1$ 。

$d = \frac{0}{x}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

用 $0$ 除以 $x$ 。

$d = 0$

解题步骤 8.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 9

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

将 $d$ 乘以 $0$ 。

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

解题步骤 11.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 12

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 13

微积分学 示例

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