微积分学示例

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

解题步骤 1.2.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

解题步骤 1.2.6.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 1.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{7}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

解题步骤 1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.7

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.8

化简分子。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

解题步骤 1.8.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 1.10

组合 $4$ 和 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 。

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 1.11

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 1.12

从 $28 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 1.13

约去公因数。

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解题步骤 1.13.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 1.13.2

约去公因数。

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.13.3

重写表达式。

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

解题步骤 1.13.4

用 $14 x^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

解题步骤 2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 2.8

组合 $14$ 和 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

解题步骤 2.9

将 $5$ 乘以 $14$ 。

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 2.10

从 $70 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

解题步骤 2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.11.3

重写表达式。

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

解题步骤 2.11.4

用 $35 x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$

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