微积分学示例

$y = 2 x^{3} e^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2}))$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2}$

解题步骤 1.5.3

重新排序项。

$2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$

解题步骤 1.5.4

将 $2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{3} e^{x} + 6 (e^{x} (x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 12 (e^{x} (x))$

解题步骤 2.4.3.3

将 $6 e^{x} x^{2}$ 和 $6 x^{2} e^{x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.3.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

解题步骤 2.4.3.3.2

将 $6 x^{2} e^{x}$ 和 $6 x^{2} e^{x}$ 相加。

$2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$

解题步骤 2.4.5

将 $2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 x e^{x}$

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