微积分学示例

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $3 \tan^{2} (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ 。

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (θ)$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

解题步骤 1.4

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

解题步骤 1.5

重新排序 $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ 的因式。

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $6$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ 。

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ 等于 $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ，其中 $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

解题步骤 2.3

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (θ)$ 乘以 $\sec^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \sec (θ)$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (θ)$ 。

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

解题步骤 2.5.3

使用 $\sec (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

解题步骤 2.6

将 $2$ 移到 $\tan (θ)$ 的左侧。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

解题步骤 2.7

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

解题步骤 2.8

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

解题步骤 2.9

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

解题步骤 2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

解题步骤 2.12

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

解题步骤 2.13

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

解题步骤 2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

解题步骤 2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

运用分配律。

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

解题步骤 2.16.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

解题步骤 2.16.3

重新排序项。

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

解题步骤 3

$f (θ)$ 对 $θ$ 的二阶导数是 $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ 。

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

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