微积分学示例

$\sin (2 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \sin (y)$ 且 $g (y) = 2 y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 y$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $2 y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 y) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 y) \cdot 2$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 y)$ 的左侧。

$2 \cos (2 y)$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 \cos (2 y) = x'$

解题步骤 5

将方程重写为 $x' = 2 \cos (2 y)$ 。

$x' = 2 \cos (2 y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 y)$

解题步骤 7

使用表达式中的 $0$ 替换 $x$ ，使用 $\frac{p}{2}$ 替换 $y$ 。

$\frac{d x}{d y} = 2 \cos (2 (\frac{p}{2}))$

解题步骤 8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

约去公因数。

$2 \cos (2 \frac{p}{2})$

解题步骤 8.2

重写表达式。

$2 \cos (p)$

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