微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{2}{15} k + 1) \frac{2}{15}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{2}{15}$ 和 $k$ 。

$(\frac{2 k}{15} + 1) \frac{2}{15}$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15} + 1 (\frac{2}{15})$

解题步骤 1.3

乘以 $\frac{2 k}{15} \cdot \frac{2}{15}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2 k}{15}$ 乘以 $\frac{2}{15}$ 。

$\frac{2 k \cdot 2}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 k}{15 \cdot 15} + 1 (\frac{2}{15})$

解题步骤 1.3.3

将 $15$ 乘以 $15$ 。

$\frac{4 k}{225} + 1 (\frac{2}{15})$

解题步骤 1.4

将 $\frac{2}{15}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

解题步骤 1.5

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15}$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \frac{2}{15} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{30} \frac{4 k}{225}$ 。

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解题步骤 3.1

从总和中因式分解出 $\frac{4}{225}$ 。

$(\frac{4}{225}) \sum_{k = 1}^{30} k$

解题步骤 3.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{4}{225}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $30$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{225} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $30$ 乘以 $31$ 。

$\frac{4}{225} \cdot \frac{930}{2}$

解题步骤 3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{225} \cdot \frac{930}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{225} \cdot \frac{930}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{225} \cdot 930$

解题步骤 3.4.3

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $225$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{2}{15 (15)} \cdot 930$

解题步骤 3.4.3.2

从 $930$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

解题步骤 3.4.3.3

约去公因数。

$\frac{2}{15 \cdot 15} \cdot (15 \cdot 62)$

解题步骤 3.4.3.4

重写表达式。

$\frac{2}{15} \cdot 62$

解题步骤 3.4.4

组合 $\frac{2}{15}$ 和 $62$ 。

$\frac{2 \cdot 62}{15}$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 乘以 $62$ 。

$\frac{124}{15}$

解题步骤 4

计算 $\sum_{k = 1}^{30} \frac{2}{15}$ 。

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解题步骤 4.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 4.2

将值代入公式中。

$(\frac{2}{15}) (30)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $30$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{2}{15} (15 (2))$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

$\frac{2}{15} (15 \cdot 2)$

解题步骤 4.3.1.3

重写表达式。

$2 \cdot 2$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$\frac{124}{15} + 4$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{124}{15} + 4 \cdot \frac{15}{15}$

解题步骤 6.2

组合 $4$ 和 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{124}{15} + \frac{4 \cdot 15}{15}$

解题步骤 6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{124 + 4 \cdot 15}{15}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{124 + 60}{15}$

解题步骤 6.4.2

将 $124$ 和 $60$ 相加。

$\frac{184}{15}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{184}{15}$

小数形式：

$12.2\overline{6}$

带分数形式：

$12 \frac{4}{15}$

微积分学 示例

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