微积分学示例

$2 \cos (4 x) + 4 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 \cos (4 x) + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.7

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$- 8 \sin (4 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 8 \sin (4 x) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 8 \sin (4 x) + 4 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 \sin (4 x) + 4$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = 4 - 8 \sin (4 x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 - 8 \sin (4 x)$ 。

$4 - 8 \sin (4 x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 - 8 \sin (4 x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 - 8 \sin (4 x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 8 \sin (4 x) = - 4$

解题步骤 2.3

将 $- 8 \sin (4 x) = - 4$ 中的每一项除以 $- 8$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 8 \sin (4 x) = - 4$ 中的每一项都除以 $- 8$ 。

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\sin (4 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (4 x) = \frac{- 4}{- 8}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $- 4$ 和 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\sin (4 x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$4 x = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.6

将 $4 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1

将 $4 x = \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 2.6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.6.3.2

乘以 $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.6.3.2.1

将 $\frac{π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{π}{24}$

解题步骤 2.7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$4 x = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

化简。

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解题步骤 2.8.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.8.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.8.1.3

在公分母上合并分子。

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 2.8.1.4

从 $π \cdot 6$ 中减去 $π$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

将 $π$ 和 $6$ 重新排序。

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 2.8.1.4.2

从 $6 \cdot π$ 中减去 $π$ 。

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

解题步骤 2.8.2

将 $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将 $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

解题步骤 2.8.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

解题步骤 2.8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

解题步骤 2.8.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.8.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.8.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.8.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

解题步骤 2.8.2.3.2.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{5 π}{24}$

解题步骤 2.9

求 $\sin (4 x)$ 的周期。

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解题步骤 2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.2

使用周期公式中的 $4$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

解题步骤 2.9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$\frac{2 π}{4}$

解题步骤 2.9.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 2.9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.9.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.9.4.2.3

重写表达式。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 2.10

$\sin (4 x)$ 函数的周期为 $\frac{π}{2}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{π}{2}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 \cos (4 x) + 4 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{π}{24})) + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{π}{4 (6)}) + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.3.2

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 (\frac{π}{24})$

解题步骤 4.1.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 (6)}$

解题步骤 4.1.2.4.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.1.2.4.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + \frac{π}{6}$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{13 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{13 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{13 π}{24})) + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{13 π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 (\frac{13 π}{24})$

解题步骤 4.2.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.2.2.5.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.2.2.5.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + \frac{13 π}{6}$

解题步骤 4.3

在 $x = \frac{25 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $\frac{25 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{25 π}{24})) + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{25 π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 (\frac{25 π}{24})$

解题步骤 4.3.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.3.2.5.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.3.2.5.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + \frac{25 π}{6}$

解题步骤 4.4

在 $x = \frac{37 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.4.1

代入 $\frac{37 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{37 π}{24})) + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{37 π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 (\frac{37 π}{24})$

解题步骤 4.4.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.4.2.5.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.4.2.5.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + \frac{37 π}{6}$

解题步骤 4.5

在 $x = \frac{49 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.5.1

代入 $\frac{49 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{49 π}{24})) + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{49 π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{3} + 4 (\frac{49 π}{24})$

解题步骤 4.5.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.5.2.5.2

约去公因数。

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.5.2.5.3

重写表达式。

$\sqrt{3} + \frac{49 π}{6}$

解题步骤 4.6

在 $x = \frac{5 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.6.1

代入 $\frac{5 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{5 π}{24})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.6.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.4.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.4.2

约去公因数。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.4.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{5 π}{24})$

解题步骤 4.6.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.6.2.5.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.6.2.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}$

解题步骤 4.7

在 $x = \frac{17 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.7.1

代入 $\frac{17 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{17 π}{24})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.7.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{17 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.5.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.5.2

约去公因数。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{17 π}{24})$

解题步骤 4.7.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.2.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.7.2.6.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.7.2.6.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}$

解题步骤 4.8

在 $x = \frac{29 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.8.1

代入 $\frac{29 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{29 π}{24})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2

化简每一项。

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解题步骤 4.8.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{29 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.5.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.5.2

约去公因数。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{29 π}{24})$

解题步骤 4.8.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.8.2.6.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.8.2.6.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}$

解题步骤 4.9

在 $x = \frac{41 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.9.1

代入 $\frac{41 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{41 π}{24})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2

化简每一项。

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解题步骤 4.9.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{41 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.5.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.5.2

约去公因数。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{41 π}{24})$

解题步骤 4.9.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.2.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.9.2.6.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.9.2.6.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}$

解题步骤 4.10

在 $x = \frac{53 π}{24}$ 处计算

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解题步骤 4.10.1

代入 $\frac{53 π}{24}$ 替换 $x$ 。

$2 \cos (4 (\frac{53 π}{24})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2

化简每一项。

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解题步骤 4.10.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.1.2

约去公因数。

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.1.3

重写表达式。

$2 \cos (\frac{53 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.5.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.5.2

约去公因数。

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{53 π}{24})$

解题步骤 4.10.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.6.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 (6)}$

解题步骤 4.10.2.6.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}$

解题步骤 4.10.2.6.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} + \frac{53 π}{6}$

解题步骤 4.11

列出所有的点。

$(\frac{π}{24}, \sqrt{3} + \frac{π}{6}), (\frac{13 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{13 π}{6}), (\frac{25 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{25 π}{6}), (\frac{37 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{37 π}{6}), (\frac{49 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{49 π}{6}), (\frac{5 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}), (\frac{17 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}), (\frac{29 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}), (\frac{41 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}), (\frac{53 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{53 π}{6})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例