微积分学示例

$\sqrt{x} \ln (6 x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} \ln (6 x))$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \ln (6 x)$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (\ln (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 x$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.4

合并分数。

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解题步骤 1.1.4.1

组合 $\frac{1}{6 x}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6 x} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.4.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{1}{6 (x^{- \frac{1}{2}} x)} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + 1}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot (6 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.7

化简项。

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解题步骤 1.1.7.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.7.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{6}{6 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.7.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.9

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.13

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.14

化简分子。

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解题步骤 1.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (6 x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.1.17

组合 $\ln (6 x)$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.3

两边同时乘以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

化简 $\frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.1.1.3

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (6 x)}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.1.1.3.2

重写表达式。

$\ln (6 x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

将 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

解题步骤 2.4.2.1.1.3

约去公因数。

$\ln (6 x) = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 2)$

解题步骤 2.4.2.1.1.4

重写表达式。

$\ln (6 x) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\ln (6 x) = - 2$

解题步骤 2.5

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (6 x)} = e^{- 2}$

解题步骤 2.6

使用对数的定义将 $\ln (6 x) = - 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 2} = 6 x$

解题步骤 2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将方程重写为 $6 x = e^{- 2}$ 。

$6 x = e^{- 2}$

解题步骤 2.7.2

将 $6 x = e^{- 2}$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $6 x = e^{- 2}$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

解题步骤 2.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{e^{- 2}}{6}$

解题步骤 2.7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{e^{- 2}}{6}$

解题步骤 2.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 2}$ 移动到分母。

$x = \frac{1}{6 e^{2}}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 3.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 3.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

将 $\frac{\ln (6 x)}{2 \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x} = 0$

解题步骤 3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

化简 ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

对 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.2.1.4

化简。

$4 x = 0^{2}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x = 0$

解题步骤 3.5.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.6

将 $\ln (6 x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$6 x \leq 0$

解题步骤 3.7

将 $6 x \leq 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $6 x \leq 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{0}{6}$

解题步骤 3.7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{0}{6}$

解题步骤 3.7.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 3.8

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 3.9

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{x} \ln (6 x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{1}{6 e^{2}}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{1}{6 e^{2}}$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\sqrt{\frac{1}{6 e^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{6 e^{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $6$ 和 $e^{2}$ 重新排序。

$\frac{1}{\sqrt{e^{2} \cdot 6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.4.2

从根式下提出各项。

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.5

将 $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{1}{e \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $\frac{1}{e \sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{e \sqrt{6} \sqrt{6}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.2

移动 $\sqrt{6}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{e (\sqrt{6} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{6}}{e ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{1 + 1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{6}}{e {\sqrt{6}}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{e {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.6.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{\frac{2}{2}}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6^{1}} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.6.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{6}}{e \cdot 6} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.7

将 $6$ 移到 $e$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{6}}{6 \cdot e} \ln (6 (\frac{1}{6 e^{2}}))$

解题步骤 4.1.2.8

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.8.1

从 $6 e^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 (e^{2})})$

解题步骤 4.1.2.8.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (6 \frac{1}{6 e^{2}})$

解题步骤 4.1.2.8.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (\frac{1}{e^{2}})$

解题步骤 4.1.2.9

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{2}$ 移动到分子。

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} \ln (e^{- 2})$

解题步骤 4.1.2.10

通过将 $- 2$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 2})$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{6 e} (- 2 \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.11.1

从 $6 e$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (- 2 \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.11.2

从 $- 2 \ln (e)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

解题步骤 4.1.2.11.3

约去公因数。

$\frac{\sqrt{6}}{2 (3 e)} (2 (- \ln (e)))$

解题步骤 4.1.2.11.4

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{3 e} (- \ln (e))$

解题步骤 4.1.2.12

组合 $\frac{\sqrt{6}}{3 e}$ 和 $\ln (e)$ 。

$- \frac{\sqrt{6} \ln (e)}{3 e}$

解题步骤 4.1.2.13

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{6} \cdot 1}{3 e}$

解题步骤 4.1.2.14

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{6}}{3 e}$

解题步骤 4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt{0} \ln (6 (0))$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}} \ln (6 (0))$

解题步骤 4.2.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 \ln (6 (0))$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\ln (6 (0))$ 重写为 $\ln (6) + \ln (0)$ 。

$0 (\ln (6) + \ln (0))$

解题步骤 4.2.2.5

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{1}{6 e^{2}}, - \frac{\sqrt{6}}{3 e})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例