微积分学示例

$\sec (\sin^{-1} (u))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\sin^{-1} (u)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\sin^{-1} (u))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 4.2

对 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 4.3

对 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 重写为 $(1 + u) (1 - u)$ 。

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解题步骤 4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 重写成 ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

解题步骤 4.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

解题步骤 5

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 6

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 7

代入 $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

解题步骤 8

求 $| z |$ 。

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解题步骤 8.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

解题步骤 8.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.1

对 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

解题步骤 8.2.2

对 $(1 + u) (1 - u)$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

将 ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 重写为 $(1 + u) (1 - u)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 重写成 ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.1.5

化简。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + u) (1 - u)$ 。

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解题步骤 8.3.2.1

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.2.2

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.2.3

运用分配律。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.1.2

将 $- u$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.1.3

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.1.5

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 8.3.3.1.5.1

移动 $u$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.1.5.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.2

将 $- u$ 和 $u$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.3.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = u$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.4

约去公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ 中分解出因数 $1 + u$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.5

约去 $1 - u$ 和 ${(1 - u)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.5.1

乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

解题步骤 8.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.5.2.1

从 $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ 中分解出因数 $1 - u$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

解题步骤 8.5.2.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

解题步骤 8.5.2.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.6

将 $0$ 和 $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.7

将 $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.8

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.9

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.10

合并和化简分母。

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解题步骤 8.10.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.10.2

对 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.10.3

对 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

解题步骤 8.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

解题步骤 8.10.6

将 ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ 重写为 $(1 + u) (1 - u)$ 。

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解题步骤 8.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ 重写成 ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.10.6.4.1

约去公因数。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.10.6.4.2

重写表达式。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

解题步骤 8.10.6.5

化简。

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

解题步骤 10

代入 $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ 和 $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ 的值。

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$

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