微积分学示例

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 1

在 $0$ 处分解积分并写为极限之和。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

解题步骤 2.3

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{upper} = e^{- 0}$

解题步骤 2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = e^{0}$

解题步骤 2.4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 2.6

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- \frac{1}{2} u_{2}$ 在 $1$ 处和在 $e^{- t^{2}}$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- t^{2}}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 6.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.1.3

求微分。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 6.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{- 0}$

解题步骤 6.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 6.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

解题步骤 6.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

解题步骤 6.6

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- \frac{1}{2} u_{2}$ 在 $e^{- t^{2}}$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $e^{- t^{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10

计算极限值。

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解题步骤 10.1

使用公分母合并分数。

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解题步骤 10.1.1

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.1.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.1.3

从 $e^{- t^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.1.4

从 $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.1.5

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2

使用公分母合并分数。

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解题步骤 10.2.1

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

解题步骤 10.2.2

从 $- e^{- t^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

解题步骤 10.2.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

解题步骤 10.2.4

从 $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

解题步骤 10.2.5

将 $- (e^{- t^{2}} - 1)$ 重写为 $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

解题步骤 10.2.6

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.3

计算极限值。

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解题步骤 10.3.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.3.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.3.3

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.4

因为指数 $- t^{2}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.5

计算极限值。

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解题步骤 10.5.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 10.5.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

解题步骤 10.5.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.6

因为指数 $- t^{2}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 10.7

计算极限值。

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解题步骤 10.7.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.7.2

化简答案。

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解题步骤 10.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.7.2.1.1

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.7.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

解题步骤 10.7.2.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 10.7.2.1.5

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.7.2.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 10.7.2.1.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.7.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 1}{2}$

解题步骤 10.7.2.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 10.7.2.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

微积分学 示例

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