微积分学示例

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 - 5 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - 5 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $2 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.7

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

解题步骤 1.3.9

将 $2$ 移到 ${(2 - 5 x)}^{3}$ 的左侧。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 1.4.1.2

从 $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.1.3

从 $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.2

将 $- 15$ 移到 $x$ 的左侧。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.3

将 ${(2 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

运用分配律。

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.4.2

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.4.3

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.5.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.6

运用分配律。

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.7

化简。

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解题步骤 1.4.7.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8

化简每一项。

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解题步骤 1.4.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.8.1.1

移动 $x$ 。

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.8.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.8.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 1.4.9.1

运用分配律。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 1.4.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 1.4.9.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

解题步骤 1.4.10

从 $- 15 x$ 中减去 $10 x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

解题步骤 1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ 。

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.3

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.12.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.7

将 $- 20$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.8

将 $4$ 乘以 $- 20$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.10

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.12.10.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.12.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.10.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.11

将 $25$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 1.4.12.12

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 1.4.13

从 $- 100 x^{2}$ 中减去 $80 x^{2}$ 。

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 1.4.14

将 $500 x^{3}$ 和 $100 x^{3}$ 相加。

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 180 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 180 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 180 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 180$ 。

$f'' (x) = - 360 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 625 x^{4}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 625$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 625 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.4.3

将 $4$ 乘以 $- 625$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} (600 x^{3})$

解题步骤 2.5

计算 $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.5.1

因为 $600$ 对于 $x$ 是常数，所以 $600 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

解题步骤 2.5.3

将 $3$ 乘以 $600$ 。

$f'' (x) = - 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

解题步骤 2.6

重新排序项。

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 - 5 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - 5 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $2 - 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $2 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 相加。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.7

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

解题步骤 4.1.3.9

将 $2$ 移到 ${(2 - 5 x)}^{3}$ 的左侧。

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1.1

从 $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

解题步骤 4.1.4.1.2

从 $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.1.3

从 $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ 中分解出因数 $x {(2 - 5 x)}^{2}$ 。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 15$ 移到 $x$ 的左侧。

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.3

将 ${(2 - 5 x)}^{2}$ 重写为 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ 。

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解题步骤 4.1.4.4.1

运用分配律。

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.4.2

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.4.3

运用分配律。

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.5.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.5.2

从 $- 10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.6

运用分配律。

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.7

化简。

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解题步骤 4.1.4.7.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.7.3

使用乘法的交换性质重写。

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.8.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.8.1.1

移动 $x$ 。

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.8.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.8.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

解题步骤 4.1.4.9

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.9.1

运用分配律。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 4.1.4.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

解题步骤 4.1.4.9.3

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

解题步骤 4.1.4.10

从 $- 15 x$ 中减去 $10 x$ 。

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

解题步骤 4.1.4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ 。

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12

化简每一项。

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解题步骤 4.1.4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.3

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.4.12.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.7

将 $- 20$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.8

将 $4$ 乘以 $- 20$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.10

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.12.10.1

移动 $x$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.4.12.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.10.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.11

将 $25$ 乘以 $- 25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

解题步骤 4.1.4.12.12

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 4.1.4.13

从 $- 100 x^{2}$ 中减去 $80 x^{2}$ 。

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

解题步骤 4.1.4.14

将 $500 x^{3}$ 和 $100 x^{3}$ 相加。

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 。

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 180 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x) + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x) + x \cdot 16 - 625 x^{4} + 600 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从 $- 625 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + 600 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从 $600 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x) + x \cdot 16 + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从 $x (- 180 x) + x \cdot 16$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.1.6

从 $x (- 180 x + 16) + x (- 625 x^{3})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.1.7

从 $x (- 180 x + 16 - 625 x^{3}) + x (600 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 180 x + 16 - 625 x^{3} + 600 x^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2

重新排序项。

$x (- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16) = 0$

解题步骤 5.2.3

因数。

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解题步骤 5.2.3.1

使用有理根检验法因式分解 $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

解题步骤 5.2.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 16, \pm 0.0256, \pm 3.2, \pm 0.128, \pm 0.64, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08, \pm 8, \pm 0.0128, \pm 1.6, \pm 0.064, \pm 0.32, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16$

解题步骤 5.2.3.1.3

代入 $0.4$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.4$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.2.3.1.3.1

将 $0.4$ 代入多项式。

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

对 $0.4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 625 \cdot 0.064 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.3

将 $- 625$ 乘以 $0.064$ 。

$- 40 + 600 \cdot {0.4}^{2} - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.4

对 $0.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 40 + 600 \cdot 0.16 - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.5

将 $600$ 乘以 $0.16$ 。

$- 40 + 96 - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.6

将 $- 40$ 和 $96$ 相加。

$56 - 180 \cdot 0.4 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.7

将 $- 180$ 乘以 $0.4$ 。

$56 - 72 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.8

从 $56$ 中减去 $72$ 。

$- 16 + 16$

解题步骤 5.2.3.1.3.9

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0$

解题步骤 5.2.3.1.4

因为 $0.4$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $5 x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16}{5 x - 2}$

解题步骤 5.2.3.1.5

用 $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ 除以 $5 x - 2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$600 x^{2}$

$180 x$

$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 625 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

解题步骤 5.2.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $350 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$

解题步骤 5.2.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					+	$350 x^{2}$	-	$140 x$

解题步骤 5.2.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $350 x^{2} - 140 x$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$

解题步骤 5.2.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$

解题步骤 5.2.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 40 x$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							-	$40 x$	+	$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 40 x + 16$ 中的所有符号

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$

解题步骤 5.2.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$125 x^{2}$	+	$70 x$	-	$8$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$600 x^{2}$	-	$180 x$	+	$16$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$350 x^{2}$	-	$180 x$
					-	$350 x^{2}$	+	$140 x$
							-	$40 x$	+	$16$
							+	$40 x$	-	$16$
										$0$

解题步骤 5.2.3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 125 x^{2} + 70 x - 8$

解题步骤 5.2.3.1.6

将 $- 625 x^{3} + 600 x^{2} - 180 x + 16$ 书写为因数的集合。

$x ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8)) = 0$

解题步骤 5.2.3.2

去掉多余的括号。

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 x - 8) = 0$

解题步骤 5.2.4

因数。

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解题步骤 5.2.4.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.4.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 125 \cdot - 8 = 1000$ 并且它们的和为 $b = 70$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.1.1

从 $70 x$ 中分解出因数 $70$ 。

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 70 (x) - 8) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.1.2

把 $70$ 重写为 $20$ 加 $50$

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + (20 + 50) x - 8) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.1.3

运用分配律。

$x (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 20 x + 50 x - 8) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.4.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x (5 x - 2) ((- 125 x^{2} + 20 x) + 50 x - 8) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (5 x - 2) (5 x (- 25 x + 4) - 2 (- 25 x + 4)) = 0$

解题步骤 5.2.4.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- 25 x + 4$ 来因式分解多项式。

$x (5 x - 2) ((- 25 x + 4) (5 x - 2)) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

去掉多余的括号。

$x (5 x - 2) (- 25 x + 4) (5 x - 2) = 0$

解题步骤 5.2.5

合并指数。

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解题步骤 5.2.5.1

对 $5 x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

解题步骤 5.2.5.2

对 $5 x - 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((5 x - 2) (5 x - 2)) (- 25 x + 4) = 0$

解题步骤 5.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x {(5 x - 2)}^{1 + 1} (- 25 x + 4) = 0$

解题步骤 5.2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

$- 25 x + 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 ${(5 x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 ${(5 x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(5 x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 ${(5 x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $5 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 x - 2 = 0$

解题步骤 5.5.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$5 x = 2$

解题步骤 5.5.2.2.2

将 $5 x = 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

将 $5 x = 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.6

将 $- 25 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $- 25 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$- 25 x + 4 = 0$

解题步骤 5.6.2

求解 $x$ 的 $- 25 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.6.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 25 x = - 4$

解题步骤 5.6.2.2

将 $- 25 x = - 4$ 中的每一项除以 $- 25$ 并化简。

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解题步骤 5.6.2.2.1

将 $- 25 x = - 4$ 中的每一项都除以 $- 25$ 。

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

解题步骤 5.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.2.2.1

约去 $- 25$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 25 x}{- 25} = \frac{- 4}{- 25}$

解题步骤 5.6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{- 25}$

解题步骤 5.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{4}{25}$

解题步骤 5.7

最终解为使 $x {(5 x - 2)}^{2} (- 25 x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2500 {(0)}^{3} + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2500 \cdot 0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

解题步骤 9.1.2

将 $- 2500$ 乘以 $0$ 。

$0 + 1800 {(0)}^{2} - 360 \cdot 0 + 16$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 1800 \cdot 0 - 360 \cdot 0 + 16$

解题步骤 9.1.4

将 $1800$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 360 \cdot 0 + 16$

解题步骤 9.1.5

将 $- 360$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 16$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 16$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 16$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$16$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 {(2 - 5 \cdot 0)}^{3}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 {(2 + 0)}^{3}$

解题步骤 11.2.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 \cdot 2^{3}$

解题步骤 11.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0) = 0 \cdot 8$

解题步骤 11.2.5

将 $0$ 乘以 $8$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{2}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2500 {(\frac{2}{5})}^{3} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$- 2500 \frac{2^{3}}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2500 \frac{8}{5^{3}} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2500 (\frac{8}{125}) + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.4

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.4.1

从 $- 2500$ 中分解出因数 $125$ 。

$125 (- 20) \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.4.2

约去公因数。

$125 \cdot - 20 \frac{8}{125} + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.4.3

重写表达式。

$- 20 \cdot 8 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.5

将 $- 20$ 乘以 $8$ 。

$- 160 + 1800 {(\frac{2}{5})}^{2} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.6

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$- 160 + 1800 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 160 + 1800 \frac{4}{5^{2}} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 160 + 1800 (\frac{4}{25}) - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.9

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1

从 $1800$ 中分解出因数 $25$ 。

$- 160 + 25 (72) \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.9.2

约去公因数。

$- 160 + 25 \cdot 72 \frac{4}{25} - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.9.3

重写表达式。

$- 160 + 72 \cdot 4 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.10

将 $72$ 乘以 $4$ 。

$- 160 + 288 - 360 (\frac{2}{5}) + 16$

解题步骤 13.1.11

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.11.1

从 $- 360$ 中分解出因数 $5$ 。

$- 160 + 288 + 5 (- 72) \frac{2}{5} + 16$

解题步骤 13.1.11.2

约去公因数。

$- 160 + 288 + 5 \cdot - 72 \frac{2}{5} + 16$

解题步骤 13.1.11.3

重写表达式。

$- 160 + 288 - 72 \cdot 2 + 16$

解题步骤 13.1.12

将 $- 72$ 乘以 $2$ 。

$- 160 + 288 - 144 + 16$

解题步骤 13.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 160$ 和 $288$ 相加。

$128 - 144 + 16$

解题步骤 13.2.2

从 $128$ 中减去 $144$ 。

$- 16 + 16$

解题步骤 13.2.3

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0$

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{25}) \cup (\frac{4}{25}, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - 180 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 180 \cdot 4 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.1.2

将 $- 180$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 720 + 16 (- 2) - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.1.3

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 {(- 2)}^{4} + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.1.4

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 625 \cdot 16 + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.1.5

将 $- 625$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.1.6

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 + 600 \cdot - 8$

解题步骤 14.2.2.1.7

将 $600$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 720 - 32 - 10000 - 4800$

解题步骤 14.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 14.2.2.2.1

从 $- 720$ 中减去 $32$ 。

$f' (- 2) = - 752 - 10000 - 4800$

解题步骤 14.2.2.2.2

从 $- 752$ 中减去 $10000$ 。

$f' (- 2) = - 10752 - 4800$

解题步骤 14.2.2.2.3

从 $- 10752$ 中减去 $4800$ 。

$f' (- 2) = - 15552$

解题步骤 14.2.2.3

最终答案为 $- 15552$ 。

$- 15552$

解题步骤 14.3

将区间 $(0, \frac{4}{25})$ 内的任一数字（例如 $0.08$ ）代入一阶导数 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $0.08$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.08) = - 180 {(0.08)}^{2} + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $0.08$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.08) = - 180 \cdot 0.0064 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.1.2

将 $- 180$ 乘以 $0.0064$ 。

$f' (0.08) = - 1.152 + 16 (0.08) - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.1.3

将 $16$ 乘以 $0.08$ 。

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 {(0.08)}^{4} + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.1.4

对 $0.08$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 625 \cdot 0.00004096 + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.1.5

将 $- 625$ 乘以 $0.00004096$ 。

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 {(0.08)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.1.6

对 $0.08$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 600 \cdot 0.000512$

解题步骤 14.3.2.1.7

将 $600$ 乘以 $0.000512$ 。

$f' (0.08) = - 1.152 + 1.28 - 0.0256 + 0.3072$

解题步骤 14.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.3.2.2.1

将 $- 1.152$ 和 $1.28$ 相加。

$f' (0.08) = 0.128 - 0.0256 + 0.3072$

解题步骤 14.3.2.2.2

从 $0.128$ 中减去 $0.0256$ 。

$f' (0.08) = 0.1024 + 0.3072$

解题步骤 14.3.2.2.3

将 $0.1024$ 和 $0.3072$ 相加。

$f' (0.08) = 0.4096$

解题步骤 14.3.2.3

最终答案为 $0.4096$ 。

$0.4096$

解题步骤 14.4

将区间 $(\frac{4}{25}, \frac{2}{5})$ 内的任一数字（例如 $0.28$ ）代入一阶导数 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $0.28$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.28) = - 180 {(0.28)}^{2} + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.4.2.1.1

对 $0.28$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.28) = - 180 \cdot 0.0784 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.1.2

将 $- 180$ 乘以 $0.0784$ 。

$f' (0.28) = - 14.112 + 16 (0.28) - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.1.3

将 $16$ 乘以 $0.28$ 。

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 {(0.28)}^{4} + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.1.4

对 $0.28$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 625 \cdot 0.00614656 + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.1.5

将 $- 625$ 乘以 $0.00614656$ 。

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 {(0.28)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.1.6

对 $0.28$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 600 \cdot 0.021952$

解题步骤 14.4.2.1.7

将 $600$ 乘以 $0.021952$ 。

$f' (0.28) = - 14.112 + 4.48 - 3.8416 + 13.1712$

解题步骤 14.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.4.2.2.1

将 $- 14.112$ 和 $4.48$ 相加。

$f' (0.28) = - 9.632 - 3.8416 + 13.1712$

解题步骤 14.4.2.2.2

从 $- 9.632$ 中减去 $3.8416$ 。

$f' (0.28) = - 13.4736 + 13.1712$

解题步骤 14.4.2.2.3

将 $- 13.4736$ 和 $13.1712$ 相加。

$f' (0.28) = - 0.3024$

解题步骤 14.4.2.3

最终答案为 $- 0.3024$ 。

$- 0.3024$

解题步骤 14.5

将区间 $(\frac{2}{5}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - 180 {(3)}^{2} + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2

化简结果。

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解题步骤 14.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.5.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = - 180 \cdot 9 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.1.2

将 $- 180$ 乘以 $9$ 。

$f' (3) = - 1620 + 16 (3) - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.1.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 {(3)}^{4} + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.1.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (3) = - 1620 + 48 - 625 \cdot 81 + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.1.5

将 $- 625$ 乘以 $81$ 。

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 {(3)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.1.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 600 \cdot 27$

解题步骤 14.5.2.1.7

将 $600$ 乘以 $27$ 。

$f' (3) = - 1620 + 48 - 50625 + 16200$

解题步骤 14.5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 14.5.2.2.1

将 $- 1620$ 和 $48$ 相加。

$f' (3) = - 1572 - 50625 + 16200$

解题步骤 14.5.2.2.2

从 $- 1572$ 中减去 $50625$ 。

$f' (3) = - 52197 + 16200$

解题步骤 14.5.2.2.3

将 $- 52197$ 和 $16200$ 相加。

$f' (3) = - 35997$

解题步骤 14.5.2.3

最终答案为 $- 35997$ 。

$- 35997$

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 14.7

由于一阶导数在 $x = \frac{4}{25}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{4}{25}$ 是极大值。

$x = \frac{4}{25}$ 是一个极大值

解题步骤 14.8

由于一阶导数在 $x = \frac{2}{5}$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 14.9

这些是 $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{4}{25}$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{4}{25}$ 是一个极大值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例