微积分学示例

$g (x) = - \sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ 重写成 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 6 x + 18$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 6 x + 18$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.10

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.12

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 1.13

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + 0)$

解题步骤 1.14

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

重新排序 $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ 的因式。

$- (2 x + 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.2

运用分配律。

$(- (2 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$(- 2 x - 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.5

将 $- 2 x - 6$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.6

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.7

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.8

从 $2 (- x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.9

约去公因数。

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解题步骤 1.15.9.1

从 $2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.15.9.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.9.3

重写表达式。

$\frac{- x - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.11

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.12

从 $- (x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.13

将 $- (x + 3)$ 重写为 $- 1 (x + 3)$ 。

$\frac{- 1 (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 3$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

将 ${({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

化简。

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (3)) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.4.2

将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 6 x + 18$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.3

使用 $x^{2} + 6 x + 18$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x + 18))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.16

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 + \frac{d}{d x} (18)))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.17

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6 + 0))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.18

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18} + \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.19

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

解题步骤 2.20

化简表达式。

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解题步骤 2.20.1

将 $\frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18} + 0$

解题步骤 2.20.2

将 $- \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - (x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21

化简。

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解题步骤 2.21.1

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 6))}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2

化简分子。

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解题步骤 2.21.2.1

使 $u_{2} = {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.21.2.1.1

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.2

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 3)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u_{2}$ 和 $b = x + 3$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - (x + 3))}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.6

化简。

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解题步骤 2.21.2.1.6.1

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - x - 1 \cdot 3)}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{(u_{2} + x + 3) (u_{2} - x - 3)}{u_{2}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.2

使用 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x + 3) ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x - 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3

化简。

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解题步骤 2.21.2.3.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x + 3) ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x - 3)$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2

合并 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 2.21.2.3.2.1

按照 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ 和 $x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2.2

将 $- x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 0 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2.3

将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2.4

按照 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3$ 和 $3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} - 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2.5

将 $- 3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $3 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 0 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.2.6

将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.21.2.3.3.1

通过指数相加将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.21.2.3.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.1.2

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{(x^{2} + 6 x + 18) + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.2

化简 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{1}$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 + x (- x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.21.2.3.3.4.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} + x \cdot - 3 + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.5

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 \cdot x + 3 (- x) + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x + 3 \cdot - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.3.7

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.4

合并 $x^{2} + 6 x + 18 - x^{2} - 3 x - 3 x - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 2.21.2.3.4.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{6 x + 18 + 0 - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.4.2

将 $6 x + 18$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{6 x + 18 - 3 x - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.5

从 $6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{3 x + 18 - 3 x - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.6

合并 $3 x + 18 - 3 x - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 2.21.2.3.6.1

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{0 + 18 - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.6.2

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{\frac{18 - 9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.2.3.7

从 $18$ 中减去 $9$ 。

$g'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$

解题步骤 2.21.3

合并项。

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解题步骤 2.21.3.1

将 $\frac{\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6 x + 18}$ 重写为乘积形式。

$g'' (x) = - (\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6 x + 18})$

解题步骤 2.21.3.2

将 $\frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 6 x + 18}$ 。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6 x + 18)}$

解题步骤 2.21.3.3

通过指数相加将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 6 x + 18$ 。

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解题步骤 2.21.3.3.1

将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 6 x + 18$ 。

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解题步骤 2.21.3.3.1.1

对 $x^{2} + 6 x + 18$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6 x + 18)}$

解题步骤 2.21.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.21.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.21.3.3.3

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.21.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{9}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ 重写成 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 6 x + 18$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 6 x + 18$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} + 6 x + 18$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- (\frac{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 6 x + 18)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 18])$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 4.1.10

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 4.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 4.1.12

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [18])$

解题步骤 4.1.13

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6 + 0)$

解题步骤 4.1.14

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$

解题步骤 4.1.15

化简。

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解题步骤 4.1.15.1

重新排序 $- \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 6)$ 的因式。

$- (2 x + 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.2

运用分配律。

$(- (2 x) - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 2 x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$(- 2 x - 6) \frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.5

将 $- 2 x - 6$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.6

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) - 6}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.7

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.8

从 $2 (- x) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.9

约去公因数。

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解题步骤 4.1.15.9.1

从 $2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 ({(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.1.15.9.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x - 3)}{2 {(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.9.3

重写表达式。

$\frac{- x - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.10

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.11

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.12

从 $- (x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.13

将 $- (x + 3)$ 重写为 $- 1 (x + 3)$ 。

$\frac{- 1 (x + 3)}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x + 3}{{(x^{2} + 6 x + 18)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 3$

解题步骤 8

计算在 $x = - 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9}{{({(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{9}{{(9 + 6 (- 3) + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{9}{{(9 - 18 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$- \frac{9}{{(- 9 + 18)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 9$ 和 $18$ 相加。

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.6.1

约去公因数。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.6.2

重写表达式。

$- \frac{9}{3^{3}}$

解题步骤 9.1.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{9}{27}$

解题步骤 9.2

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{9 (1)}{27}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 3$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 3$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$g (- 3) = - \sqrt{{(- 3)}^{2} + 6 (- 3) + 18}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- 3) = - \sqrt{9 + 6 (- 3) + 18}$

解题步骤 11.2.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$g (- 3) = - \sqrt{9 - 18 + 18}$

解题步骤 11.2.3

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$g (- 3) = - \sqrt{- 9 + 18}$

解题步骤 11.2.4

将 $- 9$ 和 $18$ 相加。

$g (- 3) = - \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$g (- 3) = - \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$g (- 3) = - 1 \cdot 3$

解题步骤 11.2.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$g (- 3) = - 3$

解题步骤 11.2.8

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 12

这些是 $g (x) = - \sqrt{x^{2} + 6 x + 18}$ 的局部极值。

$(- 3, - 3)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例