微积分学示例

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

解题步骤 1

将 $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

解题步骤 2.1.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

解题步骤 2.1.1.3

将 $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ 重写为 ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - x - 6$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x - 6$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{2} - x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

解题步骤 2.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 2.1.3.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

解题步骤 2.1.3.8

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

解题步骤 2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

解题步骤 2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

解题步骤 2.1.5.2

重新排序 $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ 的因式。

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x - 1$ 且 $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 。

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ 。

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 重写为 ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ 。

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.2.2.3

将 ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = x^{2} - x - 6$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x - 6$ 。

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2} - x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4

求微分。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} - x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.4.8

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.5

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.6

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 2.2.9

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.2.13

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

解题步骤 2.2.14

合并分数。

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解题步骤 2.2.14.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

解题步骤 2.2.14.2

组合 $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 和 $2$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.14.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.15

要将 $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 。

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.16

组合 $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ 和 $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.18

通过指数相加将 ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ 乘以 ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.18.1

移动 ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ 。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.18.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19

化简。

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解题步骤 2.2.19.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.19.2.1.1

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.19.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.4

运用分配律。

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.2.19.2.1.5.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.5.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.6

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.19.2.1.6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.2.19.2.1.6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.7

将 $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ 乘以 $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8

化简分子。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.1

从 $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.1.1

从 $- 16 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.1.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.1.4

从 $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.1.5

从 $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.1.2

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3

合并指数。

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解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.3

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.4

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.5

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.6

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.8.3.9

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.2

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.19.2.5.1

从 $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.5.1.1

从 $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.1.2

从 $4 (x - 3) (x + 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.1.3

从 $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.2

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.5.3.1

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.3.2

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.3.3

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.19.2.5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.4.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.5

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.6

化简。

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解题步骤 2.2.19.2.5.6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.6.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.7

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.2.19.2.5.7.1

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.7.2

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.7.3

运用分配律。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.19.2.5.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.19.2.5.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.8.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.8.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.8.2

从 $2 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.9

将 $- 4 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.10

从 $4 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.5.11

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.7

从 $3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.8

从 $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.9

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.10

从 $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.11

将 $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ 。

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.2.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.3

合并项。

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解题步骤 2.2.19.3.1

将 $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2.19.3.2

将 $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ 乘以 $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ 。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4

化简分母。

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解题步骤 2.2.19.4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.19.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.2.19.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4.2

对 $(x - 3) (x + 2)$ 运用乘积法则。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4.3

合并指数。

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解题步骤 2.2.19.4.3.1

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

解题步骤 2.2.19.4.3.4

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

解题步骤 2.2.19.4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

解题步骤 2.2.19.4.3.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ 。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

将 $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.1.2.1.2

用 $3 x^{2} - 3 x + 7$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

解题步骤 3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

解题步骤 3.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 7$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4

化简。

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解题步骤 3.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.3

从 $9$ 中减去 $84$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.3

从 $9$ 中减去 $84$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.3.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $7$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.3

从 $9$ 中减去 $84$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.3.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 3.3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 4

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

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