微积分学示例

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

解题步骤 1

将 $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.1.3.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 2.2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 2.2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ 。

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用正弦倍角公式。

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.3

从 $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $- 6 \sin (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $- 8 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

解题步骤 3.3.3

从 $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ 中分解出因数 $2 \sin (x)$ 。

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

解题步骤 3.5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

将 $- 3 - 4 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 3 - 4 \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

解题步骤 3.6.2

求解 $x$ 的 $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$- 4 \cos (x) = 3$

解题步骤 3.6.2.2

将 $- 4 \cos (x) = 3$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.6.2.2.1

将 $- 4 \cos (x) = 3$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

解题步骤 3.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

解题步骤 3.6.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

解题步骤 3.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3.6.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

解题步骤 3.6.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.4.1

计算 $\arccos (- \frac{3}{4})$ 。

$x = 2.4188584$

解题步骤 3.6.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

解题步骤 3.6.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.2.6.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

解题步骤 3.6.2.6.2

化简 $2 (3.14159265) - 2.4188584$ 。

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解题步骤 3.6.2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

解题步骤 3.6.2.6.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.4188584$ 。

$x = 3.8643269$

解题步骤 3.6.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.6.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.7

最终解为使 $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.8

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

通过将代入 $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 中求得的点为 $(,)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(,)$

解题步骤 4.2

将 $2.4188584$ 代入 $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $2.4188584$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2.4188584$ 。

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

解题步骤 4.2.2.2

最终答案为 $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ 。

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

解题步骤 4.3

通过将 $2.4188584$ 代入 $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 中求得的点为 $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

解题步骤 4.4

将 $3.8643269$ 代入 $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $3.8643269$ 替换变量 $x$ 。

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.8643269$ 。

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

解题步骤 4.4.2.2

最终答案为 $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ 。

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

解题步骤 4.5

通过将 $3.8643269$ 代入 $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ 中求得的点为 $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

解题步骤 4.6

确定可能是拐点的点。

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty,)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ 。

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $1.39367782$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty,)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty,)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(, 2.4188584)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.2094292$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $1.2094292$ 。

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ 。

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

解题步骤 7.3

在 $1.2094292$ ，二阶导数为 $- 8.25823739$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(, 2.4188584)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(, 2.4188584)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(2.4188584, 3.8643269)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.14159265$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

解题步骤 8.2.2

最终答案为 $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ 。

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

解题步骤 8.3

在 $3.14159265$ 处，二阶导数为 $2.44929359 E - 16$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2.4188584, 3.8643269)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2.4188584, 3.8643269)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(3.8643269, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $3.9643269$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $3.9643269$ 。

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

解题步骤 9.2.2

最终答案为 $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ 。

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

解题步骤 9.3

在 $3.9643269$ 处，二阶导数为 $0.40919742$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(3.8643269, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3.8643269, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ 。

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例