微积分学示例

$f (x) = x + 5 \cos (x)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x + 5 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$1 + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$1 + 5 (- \sin (x))$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 1 - 5 \sin (x)$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

根据加法法则， $1 - 5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 - 5 \cos (x)$

解题步骤 1.1.2.3

从 $0$ 中减去 $5 \cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 5 \cos (x)$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 5 \cos (x)$ 。

$- 5 \cos (x)$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 5 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 5 \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- 5 \cos (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- 5 \cos (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 \cos (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 \cos (x)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{0}{- 5}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 5$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 5 \cos (0)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = - 5 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = - 5$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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