微积分学示例

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + x$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $1 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

运用分配律。

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

重新排序项。

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.7

从 $- (x^{2}) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.8

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.9

从 $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.10

将 $- (x^{2} + 2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.11

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3

求微分。

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解题步骤 2.2.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3.8

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.5.2.2

从 $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.5.2.3

从 $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.6.3

重写表达式。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.2.12.1

将 $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

解题步骤 2.2.12.2

将 $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13

化简。

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解题步骤 2.2.13.1

运用分配律。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.2

运用分配律。

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.13.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.1.1

运用分配律。

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.1.2

运用分配律。

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.1.3

运用分配律。

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.13.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.4

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.13.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.3.4

将 $2 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4

从 $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.13.4.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.3

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.5

从 $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.6

从 $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.4.7

从 $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.5

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.7

从 $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.8

从 $3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.9

从 $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.11

从 $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.12

将 $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ 重写为 $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ 。

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.13

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.2.13.15

将 $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.1.2.1.2

用 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1

重新组合项。

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.4

化简。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.5

从 $3 x^{2} - 3 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.5.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.5.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 1)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

解题步骤 3.3.2.6

从 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

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解题步骤 3.3.2.6.1

从 $3 x (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

解题步骤 3.3.2.6.2

从 $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

解题步骤 3.3.2.7

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

解题步骤 3.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 3.3.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.3.5

将 $x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 3.3.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3

化简。

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解题步骤 3.3.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.4.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.3.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.2.5.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.5.3

化简 $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.6

最终解为使 $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.1.1

去掉圆括号。

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{2}{2}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 中求得的点为 $(1, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, 1)$

解题步骤 4.3

将 $- 2 + \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 2 + \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.1

去掉圆括号。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 4.3.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

解题步骤 4.3.2.2.2.3

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.2.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

解题步骤 4.3.2.2.3.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.3.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.4

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.3.2.4

化简项。

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解题步骤 4.3.2.4.1

将 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

解题步骤 4.3.2.4.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.3.2.4.3

化简。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 4.3.2.4.4

约去 $8 + 4 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.4.1

从 $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

解题步骤 4.3.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.4.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

解题步骤 4.3.2.4.4.2.2

约去公因数。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

解题步骤 4.3.2.4.4.2.3

重写表达式。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.3.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.3.2.5.2

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.3.2.5.3

运用分配律。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.2

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.6.3

将 $- \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3.2.7

最终答案为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.4

通过将 $- 2 + \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 中求得的点为 $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.5

将 $- 2 - \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.5.1

使用表达式中的 $- 2 - \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

化简结果。

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解题步骤 4.5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 4.5.2.1.1

去掉圆括号。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.2.2

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.2.3

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

解题步骤 4.5.2.2.3.1.5.5

计算指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

解题步骤 4.5.2.2.3.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.3.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.2.4

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.3

将 $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2.4

化简项。

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解题步骤 4.5.2.4.1

将 $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

解题步骤 4.5.2.4.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.4.3

化简。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

解题步骤 4.5.2.4.4

约去 $8 - 4 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.4.4.1

从 $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

解题步骤 4.5.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.4.4.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

解题步骤 4.5.2.4.4.2.2

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

解题步骤 4.5.2.4.4.2.3

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.5.2.5.1

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.5.2

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.5.3

运用分配律。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.2

乘以 $- 1 (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.5.2.6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.2.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.5.2.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.5.2.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.6.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.1.5.5

计算指数。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.6.3

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.5.2.7

最终答案为 $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.6

通过将 $- 2 - \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ 中求得的点为 $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 4.7

确定可能是拐点的点。

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3.8320508$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3.8320508$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 3.8320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $3$ 乘以 $14.68461339$ 。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 3.8320508$ 。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 56.2721846$ 和 $44.05384017$ 相加。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 12.21834443$ 和 $11.49615242$ 相加。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.7

从 $- 0.722192$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 3.8320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $14.68461339$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $15.68461339$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1.722192$ 。

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $- 3.44438401$ 除以 $3858.526212$ 。

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 0.00089266$ 。

$- 0.00089266$

解题步骤 6.3

在 $- 3.8320508$ ，二阶导数为 $- 0.00089266$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.6

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.7

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $18$ 除以 $125$ 。

$f'' (- 2) = 0.144$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $0.144$ 。

$0.144$

解题步骤 7.3

在 $- 2$ 处，二阶导数为 $0.144$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.3660254$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.3660254$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $0.3660254$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.3

将 $3$ 乘以 $0.13397459$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $0.3660254$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.5

将 $0.0490381$ 和 $0.40192378$ 相加。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.6

从 $0.45096189$ 中减去 $1.09807621$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.1.7

从 $- 0.64711431$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $0.3660254$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $0.13397459$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $1.13397459$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

解题步骤 8.2.3

化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1.64711431$ 。

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

解题步骤 8.2.3.2

用 $- 3.29422863$ 除以 $1.4581761$ 。

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 2.2591432$ 。

$- 2.2591432$

解题步骤 8.3

在 $0.3660254$ ，二阶导数为 $- 2.2591432$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.2

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1.1$ 。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.5

将 $1.331$ 和 $3.63$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.6

从 $4.961$ 中减去 $3.3$ 。

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.1.7

从 $1.661$ 中减去 $1$ 。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $1.21$ 和 $1$ 相加。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $2.21$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

解题步骤 9.2.3

化简表达式。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.661$ 。

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

解题步骤 9.2.3.2

用 $1.322$ 除以 $10.793861$ 。

$f'' (1.1) = 0.12247702$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $0.12247702$ 。

$0.12247702$

解题步骤 9.3

在 $1.1$ 处，二阶导数为 $0.12247702$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 10

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ 。

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例