微积分学示例

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

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解题步骤 1.1

代入 $16$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.2.1

去掉圆括号。

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.2

去掉圆括号。

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.3

去掉圆括号。

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简 $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.3.1

约去公因数。

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.3.2

重写表达式。

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.4

计算指数。

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.4.1.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 1.2.4.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.8.1

约去公因数。

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 1.2.4.1.8.2

重写表达式。

$y = 12 + 4^{3}$

解题步骤 1.2.4.1.9

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 12 + 64$

解题步骤 1.2.4.2

将 $12$ 和 $64$ 相加。

$y = 76$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 16$ 和 $y = 76$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

解题步骤 2.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

解题步骤 2.3.5.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.5

计算在 $x = 16$ 处的导数。

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.1.4

计算指数。

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.3

用 $12$ 除以 $2$ 。

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.4

化简分母。

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解题步骤 2.6.1.4.1

将 $16$ 重写为 $2^{4}$ 。

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.1.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 2.6.1.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.4.2.2.2

约去公因数。

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.6.1.4.2.2.3

重写表达式。

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

解题步骤 2.6.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

解题步骤 2.6.1.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

解题步骤 2.6.1.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$6 + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.6.2

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.6.3

组合 $6$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

解题步骤 2.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

解题步骤 2.6.5

化简分子。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$\frac{48 + 3}{8}$

解题步骤 2.6.5.2

将 $48$ 和 $3$ 相加。

$\frac{51}{8}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $\frac{51}{8}$ 和给定点 $(16, 76)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $\frac{51}{8}$ 和 $x$ 。

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

解题步骤 3.3.1.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.5.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

解题步骤 3.3.1.5.2

约去公因数。

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

解题步骤 3.3.1.5.3

重写表达式。

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

解题步骤 3.3.1.6

将 $51$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $76$ 。

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 102$ 和 $76$ 相加。

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$y = \frac{51}{8} x - 26$

解题步骤 4

微积分学 示例

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