微积分学示例

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ , $x = 4$

解题步骤 1

将 $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 写为等式。

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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解题步骤 2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.2

化简 $\frac{2}{\sqrt{4}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \frac{2}{2}$

解题步骤 2.2.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y = 1$

解题步骤 3

求一阶导数并计算 $x = 4$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 3.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.7

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.8

化简分子。

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解题步骤 3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.8.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 3.10

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 3.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 3.12

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.14

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.15

约去公因数。

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解题步骤 3.15.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 3.15.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.15.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.17

计算在 $x = 4$ 处的导数。

$- \frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.18

化简分母。

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解题步骤 3.18.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.18.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 3.18.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.18.3.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 3.18.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2^{3}}$

解题步骤 3.18.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 4

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

使用斜率 $- \frac{1}{8}$ 和给定点 $(4, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

解题步骤 4.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

解题步骤 4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.3.1

化简 $- \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

解题步骤 4.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

解题步骤 4.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{8} - \frac{1}{8} \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{8} \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.5.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4$

解题步骤 4.3.1.5.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.1.5.4

约去公因数。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.1.5.5

重写表达式。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 4.3.1.6

组合 $\frac{- 1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- - 1}{2}$

解题步骤 4.3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + 1$

解题步骤 4.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1 + 2}{2}$

解题步骤 4.3.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 4.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{8} x) + \frac{3}{2}$

解题步骤 4.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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