微积分学示例

$\log_{5} (1 + x^{2})$

解题步骤 1

将 $\log_{5} (1 + x^{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{5} (x)$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

$\log_{5} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (5)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

解题步骤 2.1.2.5

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ 。

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

解题步骤 2.1.2.5.2

组合 $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $\ln (5)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

解题步骤 2.1.3.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 3.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\ln (5)$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 6.2.2.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

解题步骤 6.2.3

将 $\ln (25)$ 重写为 $\ln (5^{2})$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

解题步骤 6.2.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

解题步骤 6.2.5

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

解题步骤 6.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.5.2.1

从 $2 \ln (5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

解题步骤 6.2.5.2.2

约去公因数。

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

解题步骤 6.2.5.2.3

重写表达式。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

解题步骤 6.2.7

最终答案为 $- \frac{1}{\ln (5)}$ 。

$- \frac{1}{\ln (5)}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- \frac{1}{\ln (5)}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $\ln (5)$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

解题步骤 7.2.2.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

解题步骤 7.2.2.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

解题步骤 7.2.3

将 $\ln (25)$ 重写为 $\ln (5^{2})$ 。

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

解题步骤 7.2.4

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{2})$ 。

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

解题步骤 7.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.5.1

约去公因数。

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

解题步骤 7.2.5.2

重写表达式。

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $\frac{1}{\ln (5)}$ 。

$\frac{1}{\ln (5)}$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $\frac{1}{\ln (5)}$ 。由于其值为正，函数在 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(0, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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