微积分学示例

$6 \cos^{4} (x)$

解题步骤 1

将 $6 \cos^{4} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 6 \cos^{4} (x)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cos^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 6 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 6 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = 24 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 24 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 。

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $\cos^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\cos^{3} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{3} (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\cos^{3} (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 3.3.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 3.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 3.3.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 3.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.3.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.3.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.3.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.4.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.4.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

最终解为使 $- 24 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{π n}{2}$ 。

$\frac{π n}{2}$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - 24 \cos^{3} (x) \sin (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 6 \cos^{4} (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{π n}{2} - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ 。

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

解题步骤 6.3

化简。

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

解题步骤 6.4

在 $x = \frac{π n}{2} - 1$ 处，导数为 $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{π n}{2} + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ 。

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

解题步骤 7.3

化简。

$- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

解题步骤 7.4

在 $x = \frac{π n}{2} + 1$ 处，导数为 $- 24 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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