微积分学示例

$y = \tan (15 x e^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 15 x e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $15 x e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $15 x e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

解题步骤 2

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1))$

解题步骤 5.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x}) + 15 e^{x})$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 e^{x} x + 15 e^{x})$

解题步骤 6.3

将 $15 e^{x} x + 15 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 x e^{x} + 15 e^{x})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 x e^{x}) + \sec^{2} (15 x e^{x}) (15 e^{x})$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$15 e^{x} x \sec^{2} (15 x e^{x}) + 15 e^{x} \sec^{2} (15 x e^{x})$

微积分学 示例

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