微积分学示例

$z = w^{\frac{3}{2}} (w + c e^{w})$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ 等于 $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ ，其中 $f (w) = w^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (w) = w + c e^{w}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d w} [w + c e^{w}] + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $w + c e^{w}$ 对 $w$ 的导数是 $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d w} [c e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 3.3

因为 $c$ 对于 $w$ 是常数，所以 $c e^{w}$ 对 $w$ 的导数是 $c \frac{d}{d w} [e^{w}]$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d w} [e^{w}]) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [a^{w}]$ 等于 $a^{w} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{d}{d w} [w^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 等于 $n w^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 9.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) (\frac{3}{2} w^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 10

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $w^{\frac{1}{2}}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + (w + c e^{w}) \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$w^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3

合并项。

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解题步骤 11.3.1

将 $w^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.2

组合 $w$ 和 $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w (3 w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.3

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 (w^{1} w^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.6

在公分母上合并分子。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{w} \frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11.3.8

组合 $\frac{3 w^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $c$ 。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{w}$

解题步骤 11.3.9

组合 $\frac{3 w^{\frac{1}{2}} c}{2}$ 和 $e^{w}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} + w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.3.10

要将 $w^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + w^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.3.11

组合 $w^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.3.12

在公分母上合并分子。

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{w^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.3.13

将 $2$ 移到 $w^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{2 \cdot w^{\frac{3}{2}} + 3 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.3.14

将 $2 w^{\frac{3}{2}}$ 和 $3 w^{\frac{3}{2}}$ 相加。

$w^{\frac{3}{2}} (c e^{w}) + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2}$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$e^{w} w^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 w^{\frac{1}{2}} c e^{w}}{2} + \frac{5 w^{\frac{3}{2}}}{2}$

微积分学 示例

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