微积分学示例

$p = \frac{7 + \sec (q)}{7 - \sec (q)}$

解题步骤 1

该导数无法用链式法则求得。Mathway 会使用另一种方法。

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = 7 + \sec (q)$ 且 $g (q) = 7 - \sec (q)$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 + \sec (q)] - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 - \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $7 + \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [7] + \frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) (\frac{d}{d q} [7] + \frac{d}{d q} [\sec (q)]) - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 - \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $7$ 对于 $q$ 是常数，所以 $7$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) (0 + \frac{d}{d q} [\sec (q)]) - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 - \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 相加。

$\frac{(7 - \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)] - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 - \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4

$\sec (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\sec (q) \tan (q)$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) (\sec (q) \tan (q)) - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [7 - \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $7 - \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [7] + \frac{d}{d q} [- \sec (q)]$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (7 + \sec (q)) (\frac{d}{d q} [7] + \frac{d}{d q} [- \sec (q)])}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5.2

因为 $7$ 对于 $q$ 是常数，所以 $7$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (7 + \sec (q)) (0 + \frac{d}{d q} [- \sec (q)])}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d q} [- \sec (q)]$ 相加。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [- \sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $- 1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $- \frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (7 + \sec (q)) (- \frac{d}{d q} [\sec (q)])}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5.5

乘。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + 1 (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将 $7 + \sec (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + (7 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)]}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6

$\sec (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\sec (q) \tan (q)$ 。

$\frac{(7 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + (7 + \sec (q)) (\sec (q) \tan (q))}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{(7 \sec (q) - \sec (q) \sec (q)) \tan (q) + (7 + \sec (q)) \sec (q) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{7 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + (7 + \sec (q)) \sec (q) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{7 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + (7 \sec (q) + \sec (q) \sec (q)) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{7 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + 7 \sec (q) \tan (q) + \sec (q) \sec (q) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.5

化简分子。

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解题步骤 7.5.1

合并 $7 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + 7 \sec (q) \tan (q) + \sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 中相反的项。

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解题步骤 7.5.1.1

将 $- \sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 和 $\sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 相加。

$\frac{7 \sec (q) \tan (q) + 7 \sec (q) \tan (q) + 0}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.5.1.2

将 $7 \sec (q) \tan (q) + 7 \sec (q) \tan (q)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 \sec (q) \tan (q) + 7 \sec (q) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

将 $7 \sec (q) \tan (q)$ 和 $7 \sec (q) \tan (q)$ 相加。

$\frac{14 \sec (q) \tan (q)}{{(7 - \sec (q))}^{2}}$

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