微积分学示例

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $\frac{5}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{2} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.5

组合 $\frac{28}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.6

约去 $28$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.6.1

从 $28 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.3.6.2.4

用 $14 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.1

因为 $\frac{71}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{71}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{71}{3}$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.4

将 $3$ 乘以 $71$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.5

组合 $\frac{213}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.6

约去 $213$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.6.1

从 $213 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.6.2.2

约去公因数。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.6.2.3

重写表达式。

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.4.6.2.4

用 $71 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

因为 $77$ 对于 $x$ 是常数，所以 $77 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.5.3

将 $2$ 乘以 $77$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

解题步骤 2.1.1.6

计算 $\frac{d}{d x} [120 x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.6.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.6.3

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $14$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $71$ 对于 $x$ 是常数，所以 $71 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $71$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [154 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为 $154$ 对于 $x$ 是常数，所以 $154 x$ 对 $x$ 的导数是 $154 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.4.3

将 $154$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

解题步骤 2.1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.2.5.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从 $42 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从 $142 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

从 $154$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

从 $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.6

从 $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.7

从 $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

解题步骤 2.2.2.2.1.3

代入 $- 3.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.2.1.3.1

将 $- 3.5$ 代入多项式。

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.2

对 $- 3.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 42.875$ 。

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.4

对 $- 3.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.5

将 $21$ 乘以 $12.25$ 。

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.6

将 $- 85.75$ 和 $257.25$ 相加。

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.7

将 $71$ 乘以 $- 3.5$ 。

$171.5 - 248.5 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.8

从 $171.5$ 中减去 $248.5$ 。

$- 77 + 77$

解题步骤 2.2.2.2.1.3.9

将 $- 77$ 和 $77$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2.2.2.1.4

因为 $- 3.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 7$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

解题步骤 2.2.2.2.1.5

用 $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ 除以 $2 x + 7$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 7 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $14 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $14 x^{2} + 49 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $22 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $22 x + 77$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

解题步骤 2.2.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 7 x + 11$

解题步骤 2.2.2.2.1.6

将 $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ 书写为因数的集合。

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $2 x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 7 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x + 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$2 x = - 7$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $2 x = - 7$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

将 $2 x = - 7$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 2.2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2.2.5

将 $x^{2} + 7 x + 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x^{2} + 7 x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 7$ 和 $c = 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.2.3.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.3.1.3

从 $49$ 中减去 $44$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.4.1.3

从 $49$ 中减去 $44$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4.5

从 $\sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4.6

从 $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.2.5.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $11$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.5.1.3

从 $49$ 中减去 $44$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5.5

从 $- \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5.6

从 $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 343$ 。

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

解题步骤 5.2.1.4

将 $42$ 乘以 $49$ 。

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

解题步骤 5.2.1.5

将 $142$ 乘以 $- 7$ 。

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1372$ 和 $2058$ 相加。

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

解题步骤 5.2.2.2

从 $686$ 中减去 $994$ 。

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 308$ 和 $154$ 相加。

$f'' (- 7) = - 154$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 154$ 。

$- 154$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 7)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 64$ 。

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

解题步骤 6.2.1.4

将 $42$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

解题步骤 6.2.1.5

将 $142$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 256$ 和 $672$ 相加。

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

解题步骤 6.2.2.2

从 $416$ 中减去 $568$ 。

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 152$ 和 $154$ 相加。

$f'' (- 4) = 2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

解题步骤 7.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

解题步骤 7.2.1.4

将 $42$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

解题步骤 7.2.1.5

将 $142$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 108$ 和 $378$ 相加。

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

解题步骤 7.2.2.2

从 $270$ 中减去 $426$ 。

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

解题步骤 7.2.2.3

将 $- 156$ 和 $154$ 相加。

$f'' (- 3) = - 2$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 3)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ 上为向下凹

解题步骤 8

将区间 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

解题步骤 8.2.1.4

将 $42$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

解题步骤 8.2.1.5

将 $142$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

解题步骤 8.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

解题步骤 8.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 154$

解题步骤 8.2.2.3

将 $0$ 和 $154$ 相加。

$f'' (0) = 154$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $154$ 。

$154$

解题步骤 8.3

图像在区间 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例