微积分学示例

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.1.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.3.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.1.2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.4.1

运用分配律。

$- 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = - 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = - 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cos (0)$

解题步骤 5.2.1.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = - 2 + 0 - 2$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = - 2 - 2$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0) = - 4$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例