微积分学示例

$13 e^{- x}$

解题步骤 1

将 $13 e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 13 e^{- x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$- 13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 13 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $- 13$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 13 e^{- x}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13 e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$- 13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.1.2.3

求微分。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 13$ 。

$13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$13 e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.3.4

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 13 e^{- x}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $13 e^{- x}$ 。

$13 e^{- x}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $13 e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$13 e^{- x} = 0$

解题步骤 2.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (13 e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.4

$13 e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 5

微积分学 示例

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