微积分学示例

$y = 3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

解题步骤 2.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 。

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

从 $0$ 中减去 $\csc^{2} (x)$ 。

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = 3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \cot (\frac{π}{3}) - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

$\cot (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{1}{\sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.3.6.5

计算指数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \csc (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.1.4

$\csc (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.1.5

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 4.2.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1.6.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.1.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.1.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.2.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.6.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.1.6.6.5

计算指数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.1.7

乘以 $- 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.1.7.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 (2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 4.2.1.7.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2

化简项。

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解题步骤 4.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{\sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $\sqrt{3}$ 中减去 $4 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{- 3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{3 (- \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{3 (- \sqrt{3})}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{3 (- \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = 3 + \frac{- \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 4.2.2.3.2.4

用 $- \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 3 - \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $3 - \sqrt{3}$ 。

$3 - \sqrt{3}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{5 π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = 3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 + \cot (\frac{5 π}{3}) - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \cot (\frac{π}{3}) - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.2

$\cot (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.4.6.5

计算指数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 \csc (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 5.2.1.5

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \csc (\frac{π}{3}))$

解题步骤 5.2.1.6

$\csc (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 5.2.1.7

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

解题步骤 5.2.1.8

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.1.8.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 5.2.1.8.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 5.2.1.8.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 5.2.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

解题步骤 5.2.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 5.2.1.8.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 5.2.1.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 5.2.1.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 5.2.1.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.6.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 5.2.1.8.6.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 5.2.1.8.6.5

计算指数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} - 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 5.2.1.9

乘以 $- 2 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 5.2.1.9.2

组合 $2$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 5.2.1.9.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.2

化简项。

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解题步骤 5.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 + \frac{- \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 + \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 + \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2.2.3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 3 + \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $3 + \sqrt{3}$ 。

$3 + \sqrt{3}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = 3 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ 上的水平切线是 $y = 3 - \sqrt{3}, y = 3 + \sqrt{3}$ 。

$y = 3 - \sqrt{3}, y = 3 + \sqrt{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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