微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{5}{x})$

解题步骤 1

将 $x \tan (\frac{5}{x})$ 重写为 $\frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{5}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 2.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{5}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{5}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{5}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{5}{x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{5}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\frac{5}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (5 (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- 5 x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- 5 \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.2

合并项。

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解题步骤 2.3.7.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) (- \frac{5}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.2.3

组合 $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ 和 $\frac{5}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{5}{x}) \cdot 5}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.2.4

将 $5$ 移到 $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \sec^{2} (\frac{5}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.3

化简分子。

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解题步骤 2.3.7.3.1

将 $\sec (\frac{5}{x})$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 {(\frac{1}{\cos (\frac{5}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.3.2

对 $\frac{1}{\cos (\frac{5}{x})}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.3.3

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.5

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.6

合并。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.7

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.7.8

将 $- \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 2.3.8

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{- x^{- 2}}$

解题步骤 2.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} - \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} (- x^{2})$

解题步骤 2.5

合并因数。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} x^{2}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})} x^{2}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{5}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$

解题步骤 2.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{5}{x})}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$

解题步骤 2.7

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{\cos^{2} (\frac{5}{x}) \cdot 1}$

解题步骤 2.8

分离分数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$

解题步骤 2.9

将 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{5}{x})}$ 转换成 $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5}{1} \sec^{2} (\frac{5}{x})$

解题步骤 2.10

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} 5 \sec^{2} (\frac{5}{x})$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{5}{x})$

解题步骤 3.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (\frac{5}{x})$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$5 {(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{5}{x}))}^{2}$

解题步骤 3.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$5 \sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})$

解题步骤 3.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \sec^{2} (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$5 \sec^{2} (5 \cdot 0)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$5 \sec^{2} (0)$

解题步骤 5.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 \cdot 1^{2}$

解题步骤 5.3

一的任意次幂都为一。

$5 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

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