微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.3

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} e^{x} x$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to \infty} e^{x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

解题步骤 6

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

解题步骤 7

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\infty \cdot \infty$

解题步骤 8

无穷大乘以无穷大结果为无穷大。

$\infty$

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