微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{9 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{9 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 3.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $\cos (x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{- \sin (x) + 0}$

解题步骤 3.8

将 $- \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{18 x}{- \sin (x)}$

解题步骤 4

因为项 $18$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$18 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$18 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.1.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$18 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$18 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \frac{0}{- \sin (0)}$

解题步骤 5.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$18 \frac{0}{- 0}$

解题步骤 5.1.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$18 (\frac{0}{0})$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$18 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 5.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

解题步骤 5.4

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$18 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

解题步骤 5.4.2

将负号移到分数的前面。

$18 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$18 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$18 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$18 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$18 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$18 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$- 18 \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{\cos (0)}$ 转换成 $\sec (0)$ 。

$- 18 \sec (0)$

解题步骤 8.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 18 \cdot 1$

解题步骤 8.4

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$- 18$

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