微积分学示例

$f (x) = (5 + 4 x) e^{- 5 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 + 4 x$ 且 $g (x) = e^{- 5 x}$ 。

$(5 + 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 x$ 。

$(5 + 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(5 + 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(5 + 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 5$ 移到 $(5 + 4 x) e^{- 5 x}$ 的左侧。

$- 5 \cdot ((5 + 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $5 + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.3.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 1.3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 相加。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.3.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.9

化简表达式。

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解题步骤 1.3.9.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \cdot 4$

解题步骤 1.3.9.2

将 $4$ 移到 $e^{- 5 x}$ 的左侧。

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + 4 \cdot e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$(- 5 \cdot 5 - 5 (4 x)) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$- 5 \cdot 5 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$- 25 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$- 25 e^{- 5 x} - 20 x e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.3.3

将 $- 25 e^{- 5 x}$ 和 $4 e^{- 5 x}$ 相加。

$- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.4

重新排序项。

$- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$

解题步骤 1.4.5

将 $- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x e^{- 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}]$ 。

$- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- 5 x}$ 。

$- 20 (x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- 5 x$ 。

$- 20 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 20 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 20 (x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.7

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 20 (x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.8

将 $- 5$ 移到 $e^{- 5 x}$ 的左侧。

$- 20 (x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.2.9

将 $e^{- 5 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 21 e^{- 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 5 x$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 5$ 移到 $e^{- 5 x}$ 的左侧。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 5$ 乘以 $- 21$ 。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + 105 e^{- 5 x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 5$ 乘以 $- 20$ 。

$100 (x (e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 20 e^{- 5 x}$ 和 $105 e^{- 5 x}$ 相加。

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$

解题步骤 2.4.4

将 $100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$ 。

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

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