微积分学示例

$f (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$8 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$8 (x^{2} - 1) (2 x)$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 (x^{2} - 1) x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$(16 x^{2} + 16 \cdot - 1) x$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$16 x^{2} x + 16 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.4.3

合并项。

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解题步骤 1.4.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 (x^{1} x^{2}) + 16 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 x^{1 + 2} + 16 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.4.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$16 x^{3} + 16 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.4.3.4

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 16 x^{3} - 16 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $16 x^{3} - 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$48 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$48 x^{2} - 16 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 48 x^{2} - 16$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $48 x^{2} - 16$ 。

$48 x^{2} - 16$

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