微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$6 x - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$6 x - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x - 3 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x - 3 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 x - 3 (\cos (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.1.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$6 x - 3 (2 \cdot \cos (2 x))$

解题步骤 1.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 6 x - 6 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $6 x - 6 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$6 - 6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$6 - 6 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$6 - 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 - 6 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 - 6 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

解题步骤 1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$6 - 6 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

解题步骤 1.2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 - 6 (- 2 \sin (2 x))$

解题步骤 1.2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = 6 + 12 \sin (2 x)$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 + 12 \sin (2 x)$ 。

$6 + 12 \sin (2 x)$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 + 12 \sin (2 x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 + 12 \sin (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$12 \sin (2 x) = - 6$

解题步骤 2.3

将 $12 \sin (2 x) = - 6$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $12 \sin (2 x) = - 6$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \sin (2 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (2 x) = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

约去 $- 6$ 和 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (2 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (2 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$2 x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 2.6

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $2 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 2.6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 2.6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.3.2

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

解题步骤 2.6.3.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = - \frac{π}{12}$

解题步骤 2.7

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 2.8

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 2.8.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 2.8.3

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.3.1

将 $2 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 2.8.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 2.8.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

解题步骤 2.8.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.8.3.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.3.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

解题步骤 2.8.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 2.9

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.9.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.10

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{12}$ 以求正角。

$- \frac{π}{12} + π$

解题步骤 2.10.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 2.10.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

解题步骤 2.10.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

解题步骤 2.10.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.4.1

将 $12$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

解题步骤 2.10.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{12}$

解题步骤 2.10.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{12}$

解题步骤 2.11

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{7 π}{12}$ 代入 $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1.1

对 $\frac{7 π}{12}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.1.2

对 $7 π$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.1

从 $144$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{12}) = 3 (\frac{49 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

解题步骤 3.1.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

解题步骤 3.1.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

解题步骤 3.1.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

解题步骤 3.1.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.1.2.1.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3.1.2.1.8

乘以 $- 3 (- \frac{1}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.1.2.1.8.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ 。

$\frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{7 π}{12}$ 代入 $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ 中求得的点为 $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{11 π}{12}$ 代入 $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\frac{11 π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1.1

对 $\frac{11 π}{12}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

对 $11 π$ 运用乘积法则。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $144$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 (48)}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{12}) = 3 (\frac{121 π^{2}}{3 \cdot 48}) - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

解题步骤 3.3.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

约去公因数。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

解题步骤 3.3.2.1.5.3

重写表达式。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

解题步骤 3.3.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.3.2.1.7

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} - 3 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.8

乘以 $- 3 (- \frac{1}{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + 3 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

最终答案为 $\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$ 。

$\frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.4

通过将 $\frac{11 π}{12}$ 代入 $f (x) = 3 x^{2} - 3 \sin (2 x)$ 中求得的点为 $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1.73259571$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (2 (1.73259571))$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $1.73259571$ 。

$f'' (1.73259571) = 6 + 12 \sin (3.46519142)$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $6 + 12 \sin (3.46519142)$ 。

$6 + 12 \sin (3.46519142)$

解题步骤 5.3

在 $1.73259571$ 处，二阶导数为 $2.18423278$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2.35619449$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (2 (2.35619449))$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $2.35619449$ 。

$f'' (2.35619449) = 6 + 12 \sin (4.71238898)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $6 + 12 \sin (4.71238898)$ 。

$6 + 12 \sin (4.71238898)$

解题步骤 6.3

在 $2.35619449$ ，二阶导数为 $- 6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.97979326$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (2 (2.97979326))$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $2$ 乘以 $2.97979326$ 。

$f'' (2.97979326) = 6 + 12 \sin (5.95958653)$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $6 + 12 \sin (5.95958653)$ 。

$6 + 12 \sin (5.95958653)$

解题步骤 7.3

在 $2.97979326$ 处，二阶导数为 $2.18423278$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$ 。

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{48} + \frac{3}{2}), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{48} + \frac{3}{2})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例